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2015-03-04 21:48:00
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그러한 설명은 '0으로 나눌 수 있다면, 그 결과는 0 근방의 수로 나눈 것과 비슷할 것이다, 혹은 그 근방의 수를 통해 추론할 수 있다' 와 같이 생각하고 있기 때문인데.. 어째서 그래야 하는지에 대해 설명이 부족합니다.
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(이 아래부터는 기억에 의존해 쓴 것이므로 틀렸을수도 있습니다)
대수적으로 나눈다고 하는 것은 어떤 수에 대한 곱셈의 역원을 곱한다는 의미로.. 1/0의 의미는 1에다 0의 곱에 대한 역원을 곱한다는 것입니다
그러면 0의 역원을 생각해봅시다. 0의 역원이라 하면 0에다 곱해서 항등원 (즉, 1이 되겠죠.)이 나오는 수를 말합니다.
만약 0의 역원이 존재해서, 그것을 a라 하면
0*a = 1
이라고 할 수 있습니다.
그러나 a가 뭐가 됐든, 0*a = 0 입니다. (고1 수준에서 증명할 수 있습니다.)
따라서 0=1이라는 결론이 나오게 됩니다.
그러면 이제.. 임의의 수 b에 대하여.. b = b*1 = b*0 = 0 이므로,
모든 수는 0과 같다.는 결론이 나오게 됩니다!
그래서.. 우리가 사용하는 정수환이나 실수체등에서는 0의 역원은 없습니다.
즉, 0으로 나눌 수 없습니다.
유식한 말로 하면 zero ring이 아니라면 multiplicative identity의 inverse를 생각하지 않는다고 하면 됩니다.