
쌓인세타님 말대로 탁자의 자취를 입체적으로 고려해야 합니다만.. 어렵게 생각하지 말고 다음과 같이 자취를 정의하면 됩니다.
(편의를 위해서 X(0) 를 점 X의 초기위치, X(90)을 점 X의 돌린 후의 위치라고 합시다.)
.
~초기화~
- 선분 AC와 선분 BD가 서로를 수직이등분 하는 모양을 생각합시다.
- 일단 AC를 내려놓습니다.
- 탁자가 기울어져 있다는 것은.. B를 내려놓으면 D가 올라가고, D를 내려놓으면 B가 올라가 있다는 이야기겠죠.
- B먼저 내려놓습니다. D는 떠 있습니다. 이게 초기위치입니다.
.
.
~90도를 돌리기~
- 이제 위의 상태에서.. A,C는 계속 바닥에 붙어있는 채로, 90도를 돌립니다.
- 물론 바닥이 울퉁불퉁하므로, 축도 흔들리고.. 온갖 게 다 흔들리므로 엄밀히 말하면 90도를 돌린다는 말 자체가 틀렸지만, 90도를 돌린다는 '느낌'으로,(*) 아래 규칙에 따라서 적당히 돌려봅시다.
-A,C는 바닥에 붙어있는 상태로 움직입니다.
- 저는 귀류법으로 풀어보려고 합니다. 그러니까.. AC를 붙여놓은 상태로 아무리 돌려도 탁자는 흔들리고.. 즉 AC가 붙어있는 상태에서 BD는 계속 흔들린다는 가정입니다.
B,D중 B쪽을 바닥에 내려놓습니다. 그러니까 D는 항상 바닥과 떨어져 있겠지요. 이 상태로 움직입니다.
-최종적으로, A는 B의 처음위치에, B는 C의 처음위치에 도달하도록 합니다.
(즉, A(90)=B(0), B(90)=C(0)입니다. 이는 ABCD 십자가의 대칭성 때문에 분명 가능합니다.)
.
.
~증명 시작~
- 지금 C(90)과 D(90)은 각각 D(0)과 A(0)의 '근처' 에 대충 적당히 놓여 있을것입니다.
- A,B 위치가 고정된 상태에서 C의 자취는 원을 그리므로, 바닥과의 적절한 교점은 한 군데밖에 없습니다. 그러므로 그것은 D(0)과 같아야 합니다
-그런데, 그러면 모순이 발생합니다. A(90),B(90),C(90)이 각각 B(0),C(0),D(0)과 일치하므로, 남은 점인 D는 D(90) = A(0)이어야 합니다.
그런데 귀류법의 가정에 의해 D(90)은 바닥과 떨어져 있어야 합니다. 이는 모순입니다.
귀류법에 의해서 증명이 완료되었습니다.
.
(*) 부분이 좀 걸리긴 하는데 아래분이 엄밀하게 고쳐주실 겁니다.