방금 놀다가 발견한 김에 적어봅니다.
(...정수론에 대한 지식이 없는 관계로 이하 내용은 모두 엄밀한 증명이 아닌 단순 실험에 의해 작성되었습니다. 맞다는 확증 또한 없으니 유의하면서 읽으시면 좋습니다.)
[... 5보다 큰 소수 p에 대해, p의 역수를 소수(Decimal fraction)으로 나타냈을 때의 순환 주기의 길이는 p-1의 약수이다.]
예시)
p=7일 때 p-1=6 이며, 1÷7 = 0.'142857'~, 순환주기의 길이는 6. 6은 6의 약수.
p=11일 때 p-1=10 이며, 1÷11 = 0.'09'~, 순환주기의 길이는 2. 2는 6의 약수.
p=13일 때 p-1=12이며, 1÷13 = 0.'076923'~, 순환주기의 길이는 6, 6은 12의 약수.
p=17일 때 p-1=16이며, 1÷17 = 0.'05882 35294 11764 7'~, 순환주기의 길이는 16, 16은 16의 약수.
p=19일 때 p-1=18이며, 1÷19 = 0.'05263 15789 47368 421'~, 순환주기의 길이는 18, 18은 18의 약수.
p=23일 때 (생략) 1÷23 = 0.'04347 82608 69565 21739 13'~, 순환주기의 길이는 22 (이하생략)
p=29일 때 1÷29 = 0.'03448 27586 20689 65517 24137 931'~, 순환주기의 길이는 28
p=31일 때 1÷31 = 0.'03225 80645 16129'~, 순환주기의 길이는 15
p=37일 때 1÷37 = 0.'027'~, 순환주기의 길이는 3
p=41일 때 1÷41 = 0.'02439'~, 순환주기의 길이는 5
p=601일 때 순환주기의 길이는 300(아래 참조)
약수 중 어느 수인지는 들쭉날쑥해서 바로 알 수 없지만, 확실히 해당 약수 중 들어있는 것 만은 확실해 보입니다.
가만, 그런데 분모가 소수가 아니라면...?
1÷52 = 0.01'923076'~, 순환주기의 길이는 6. 52는 4×13이니까... 네? 당연하다고요? 그렇다면...
분모가 1517(37×41)일 때, 1÷1517 = 0.'00065 91957 81147'~, 순환주기의 길이는 15. p=37일 때 순환주기는 3이고, p=41일 때 순환주기는 5니까... 음음. 왠지 그럴싸한 결과군요.
그렇다면 31과 41이라면...? 1÷1271 = 0.'00078 67820 61369'~, 순환주기의 길이는 15. p=31일 때 순환주기가 15, p=41일 때는 5. 뭐 그야 5와 15는 서로소가 아니니까, 납득은 됩니다.
한 번만 더 해봅시다. 13과 17의 곱(221)의 역수는... 잠깐, 계산하기 전에 예상을 먼저 해 봅시다. 13^-1의 순환주기가 6이고, 17^-1의 순환주기가 16이니, 둘의 최소공배수를 계산해보면 48이 되는군요. 정말 그렇게 될까요?
오오!
-확장(가설)
[5보다 큰 소수 p1, p2, p3, ..., pn에 대해, p1×p2×p3×...×pn 의 역수의 순환주기는 각 소수 역수 순환주기의 LCM이다.]
잠깐, 왠지 불길한 느낌이 듭니다. 뭔가 빠뜨려서는 안 될 것을 빠뜨린 듯 한...
... 1÷49의 값은 어떨까요?
일단 49는 7의 제곱수이고, 7의 순환주기는 6이니까 49의 순환주기도 위의 법칙을 따른다면 6이 되어야 하지만, 왠지 제 예감은 강렬하게 그게 아니라고 부르짖고 있습니다.
한번 해보죠.
1...
÷...
49...
=?
젠장 이런 빌어먹을! 분명 뭔가 잘못되었습니다. 대체 어디일까요? 42니까 일단 확실히 6은 들어있고, 남은 수는... 7? 아니, 잠깐. 순환주기가 6×7이라고요? 6×6도 아니고?
한번 더 해보죠. 이번에는 169 (13^2)로 가보겠습니다. 13의 순환주기는 분명 6이었죠...
1÷169 = ?
...!! 순환주기 78이 나왔습니다. 6×13이군요. 이럴수가...
세제곱수도 같을까요? 343 (7^3)으로 시도해보도록 하겠습니다.
역시. 294 = 6×7×7이 되는군요. 이쯤 되면 확신이 생깁니다. p^n에 대해서 순환주기는 (p-1의 약수)×(p^(n-1))이 되는군요.
계속 p-1의 약수라는 단어를 쓰기에도 좀 그러니, 정수 n의 순환주기를 주기(Routine)에서 따서 Rn, 소수 p에 대해 특정 숫자 'p-1의 약수'를 액수(Devisor)의 약자를 따서 Dp로 칭하도록 하겠습니다.
이번에는 여러 수를 섞어봅시다. 7^2 × 13^2를 분모로 삼아보죠.
1÷8281=?
R_8281 = 546 이라는 결과가 나왔습니다. 6×7×13으로 나눌 수 있겠군요. 휴... 어찌되었든 6은 공유하는 모양입니다.
웬만한 단서는 모두 얻었으니 조금 더 큰 수를 가지고 예측해보죠.
R_7^3×13×31×43 = R_5943847 = ?
* D7 = 6인데, 7이 2번 더 곱해졌으니 R343 = 294
* D13 = 6
* D31 = 15
* D43 = 21
예상이 맞다면 R_5943847 = LCD{294, 6, 15, 21} = 1470 이 될 것 같습니다. 과연 맞을까요?
와!
놀랍게도(어쩌면 당연하게도) 딱 들어맞는 결과가 나오는군요. 그렇다면 가설을 조금 더 확장할 수 있을 것 같습니다.
-확장(가설)
[5보다 큰 소수 p1, p2, ..., pn과 임의의 자연수 a1, a2, ...,an에 대해 p1^a1×p2^a2×...×pn^an=k라고 하면, Rk=LCD{Dpx×px^(ax-1)}이다.]
뭔가 허전한데 더 할 게 없을까요? 처음으로 되돌아가봅시다.
왜 하필이면 5보다 큰 소수에서 법칙이 성립할까요? 그야 물론 3은 그렇다 쳐도, 2의 역수와 5의 역수는 유한소수이기 때문이죠.
(여기서 소수 뒤에 ~00000...이나 ~99999... 붙이면 되지 않냐는 말 하면 화낼겁니다ㅡㅡ)
왜 2와 5의 역수가 무한소수냐면... 10과 서로 소가 아니잖아요. 우리가 쓰는 수 체계는 10진법이니까...
...어?
그렇다면 다른 진법에서는?
한번 해 봅시다.
2의 역수는 10진법에서는 0.5지만, 3진법으로 나타내면 0.111111...이 되죠. 5의 역수는 10진법에서는 0.2지만, 3진법으로는 0.'0121'~, 2진법으로는 0.'0011'~이 되는군요.
최후의 가설)
[m진법에서 m보다 큰 소수 p1, p2, ..., pn과 임의의 자연수 a1, a2, ..., an에 대해 p1^a1×p2^a2×...×pn^an=k라고 하면, Rk=LCD{Dpx×px^(ax-1)}이다. 단, m에 따라 Dpx의 값은 달라질 수 있다.]
솔직히 저기에 왜 'm보다 큰'이라는 조건을 붙였는지에 대해서도 쓰려고 하면 한참 더 쓸 게 있지만(그놈의 1/9 때문에 한참을 시도하던 걸 다 말아먹었습니다), 슬슬 밥 먹을 시간이 지나고 있으므로 그만두어야 될 것 같군요. 이제 저는 팝콘이나 뜯으면서 댓글로 올라오는 수잘알님들의 향연을 구경하면 될 거라고 믿습니다.
