<div><br></div> <div>어느 날, 괴델의 불완전성의 정리에 대한 내용을 읽다가</div> <div>'공리계는 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없다'</div> <div>라는 대목을 읽고 문득 뜬금없는 생각이 떠올라버렸습니다.</div> <div><br></div> <div>"스스로 보증할 수 없으면, 보증인을 두면 되잖아?"</div> <div><br></div> <div>에... 그러니까 이게 무슨 말이냐면,</div> <div>'사칙연산을 포함하는 어떠한 공리계의 무모순성은 별도의 공리계의 정리에 포함될 수 있다.' 라는 거니까요.</div> <div>뭐, 어차피 전체 공리계에 대한 무모순성은 '여전히' 증명할 수 없으니 별 의미는 없지만-</div> <div><br></div> <div>"이왕 보증해 준 거, 계속 해 보면 어떨까?"</div> <div><br></div> <div>하는 생각에 다음과 같은 상상이 시작되었습니다.</div> <div><br></div> <div><br></div> <div>우리의 명제논리계를 『T』라고 하고, <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『T』에 의해 정의되는 명제논리계를 『V』라 할 때, </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『T』는 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『V』의 임의의 대상 a를 정의할 수 있다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">또한 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『T』는 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『V』의 a와 같지 않은 대상 a' 역시 정의할 수 있으며, 동일계</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『V』에 속해있는 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">a는 a'로의 관계 α가 존재한다.</span></div> <div>위의 관계를 이어나가면, a'에서 α 관계를 가지는 a''와 a''에서 α관계를 가지는 a''' 역시 존재하며, 각각의 a에 순서대로 임의의 기호를 할당할 수 있고, 이 기호는 <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">『T』에서의 첫 기준점 0과 0에서</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> 시작하는 자연수집합을 대응시킬 수 있다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">이어서 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">a'에서 a로의 관계 -α와 음의 정수도 정의된다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">±α 관계를 가지는 모든 a 집합에서, +∞는 + 방향으로의 스핀값을 가지며 대상 집합은 a의 전체집합이다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">-∞도 - 방향으로의 스핀값을 가지며 대상 집합은 a의 전체집합이다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">+</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">∞와 -</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">∞는 대상 집합이 같고 방향이 반대이다.</span></div> <div>특정 a를 기준점 0으로 놓은 상태에서의 무한대값은 전체집합의 값을 1'로 놓았을 때, 각각 +(1/2)', -(1/2)' 이다.</div> <div><br></div> <div>덧셈과 뺄셈은 관계 α 의 최종 개수와 그에 해당하는 숫자로 나타내어진다.</div> <div><br></div> <div>곱셈은 기준점 0에서 nα = α' 관계를 가지는 새로운 <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">α'값을 1로 놓았을 때의 넘버링과 이 넘버링에서 지정하는 숫자 N' 값에 해당하는 최종 N값으로 나타낼 수 있다.</span></div> <div>즉, 3x4 는 3<span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">α = 1' -> 4' = 12</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">3x4x5는 3</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">α = 1' -> 4' = 1'' -> 5'' = 20' = 60 과 같이 나타낼 수 있다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">x÷y와 같은 나누기는 서로 다른 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">α 관계를 가지는 숫자 x와 y를 같다고 놓고, y의 1 값을 x로 서술하는 식으로 정의될 수 있다.</span></div> <div>즉, 3<span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">÷2 -> 3' = 2'' -> 1.5' = 1''</span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">기준점 0은 관계 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">α 가 존재하지 않으므로, 나눗셈에서 정의되지 않는다. (</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">단, 무한소의 경우는 </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">제외)</span></div> <div><br></div> <div><br></div> <div>그 외에도 무한대의 n제곱은 각각 차원이 다르기 때문에 낮은 차원의 무한대는 0으로 수렴하는 거라던가,</div> <div>각각 다른 조건을 가진 무한대의 벡터값 비교라던가, 무한대와 무한소가 같은 값으로 발산한다는 가정에 대한 검증 등등 이것저것 있는데,</div> <div>수알못의 한계인지, 더 이상은 무리였습니다. (^~^a</div> <div><br></div> <div>명제수학이나 정수론은 언젠가 한 번 꼭 제대로 배워보고 싶네요.</div>