이 내용은 고등학교 수학1에 등장하는 행렬에 대한 지식을 가지과 현재 문과에서 배우는 정도의 미적분 지식이 있으면 이해하실 수 있을 것입니다. <div><br></div> <div>중력을 설명하는 일반상대성 이론에서 어떻게 시간과 공간이 서로 관여하게 되는지 간략하게 설명드리겠습니다.</div> <div><br></div> <div><br></div> <div><br></div> <div>중학교 3학년 때 배우는 피타고라스 정리가 있죠. a^2 + b^2 = c^2이라는 직각삼각형에서 성립하는 공식입니다.</div> <div><br></div> <div>이것을 3차원 공간(유클리드 공간)으로 가지고 가면 두 지점사이의 거리를 정의할 때 사용할 수 있죠.</div> <div><br></div> <div>그리고 그것은 회전이나 평행이동에 대해 불변의 양입니다. 유클리드 공간에서는 거리^2인 (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 이 불변하는 양이지요.</div> <div><br></div> <div>이것은 특수상대성 이론이 등장하기전 모든 물리학에서 사용되던 중요한 정리입니다.</div> <div><br></div> <div>벡터라는 물리량을 정의할 때에도 그 길이가 좌표계의 회전이나 평행이동에 대해 불변해야 한다는 조건을 주게 되지요.</div> <div><br></div> <div><blockquote style="border:1px solid rgb(222,223,223);background-color:#f7f7f7;padding:5px 10px;"><font size="3">1줄요약 : 유클리드 공간에서는 피타고라스 정리에 의해 정의되는 "거리" 라는 양이 불변의 양이다.</font></blockquote><br></div> <div>특수상대성 이론으로 들어서게 되면 이 "거리"라는 양이 불변이 아니게 됩니다. 길이 수축과 시간지연에 대해서 많이 들어보셨을 겁니다. </div> <div><br></div> <div>시간에 대한 거리의 변화량, 즉 속도의 크기에 대한 제한을 도입하게 되면서 (광속 c가 상한이지요) 거리는 더이상 불변하지 않게 됩니다. </div> <div><br></div> <div>이것을 유도하는 것은 이미 많이 알려져 있는 사실이기도 하니 생략하구요, 결론만 가져오겠습니다.</div> <div><br></div> <div>특수상대론적, 다시 말해서 광속에 비해 크게 차이가 나지 않는 속력으로 등속운동하는 물리계들 사이에서는 "거리"라는 양이 불변이 아니라 시간의 변화량 까지 도입한 (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2+(dz)^2 - (c dt)^2 이 됩니다. 여기서 c는 물론 광속을 의미합니다. </div> <div><br></div> <div>유클리드 공간에서는 "거리^2"가 항상 양수이지만, 보실 수 있듯이 특수상대론의 불변량은 음수가 될 수도 있습니다. 따라서 개인의 편리에 따라 (ds)^2의 부호를 바꿔서 적어도 문제가 없습니다. 불변의 양을 보면서 알 수 있는 것은 시간과 공간이 서로에게 영향을 받고 있다는 것이죠.</div> <div><br></div> <div>(그리고 그 서로에 대한 영향은 광속으로 속력의 상한을 주면서 시작되는 것입니다.)</div> <div><br></div> <div><font size="3"></font><blockquote style="border:1px solid rgb(222,223,223);background-color:#f7f7f7;padding:5px 10px;"><font size="3">1줄요약 : 특수상대론의 시공간에서는 불변하는 양이 "거리"가 아니라 (ds)^2 = <span style="line-height:1.5;">(dx)^2 + (dy)^2+(dz)^2 - (c dt)^2 라는 양이다.</span></font></blockquote><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"></span></div> <div><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"><br></span></div> <div>그렇다면 이 우주는 이런것에 대하여 어떻게 반응할까요? 뉴턴 이후부터 왜 F=ma를 따르는지에 대해 이해하기 위한 노력들이 있어왔습니다. </div> <div><br></div> <div>그러한 시도들 중에서 가장 성공한 것이 우주는 가장 합리적인 길을 선택한다는 이론입니다. 바로 라그랑지안이죠.</div> <div><br></div> <div>상당히 와닿지 않는 말이지만, 간단한 예를 들어 생각해 봅시다.</div> <div><br></div> <div>유클리드 공간에서 두 지점사이를 이동할 때 무엇이 가장 합리적인 방향일까요? 그 두 지점을 잇는 직선을 따라가는 것이겠지요.</div> <div><br></div> <div>공간상에 찍히는 좌표 (x, y, z)를 시간 t의 함수로 나타낸다면 어떻게 될까요?</div> <div><br></div> <div>( x(t) , y(t), z(t) ) 로 말이지요. 간단하게 벡터 r(t)라고 표시해 봅시다. 어떻게 직선을 표현할 수 있을가요?</div> <div><br></div> <div>여러가지 방법이 있겠지만 시간에 대해 r을 두번 미분한 양인 r(t)" = 0 이라고 하면 됩니다. 즉 가속도 = 0 이라고 하면 직선을 따라가게 되는 것이죠.</div> <div>(직선의 방정식을 변수 t로 매개한다고 생각하시면 이해하기 편합니다.)</div> <div><br></div> <div>외부의 아무런 작용이 없을 때, 유클리드 공간에서 가장 합리적인 운동은 가속도가 = 0 인, 힘을 받지 않는, 직선운동이 되는 것입니다.</div> <div><br></div> <div>이것은 특수상대론의 공간에서도 변함이 없습니다. 시공간에서 가장 합리적인 이동방법 역시 두 지점을 잇는 직선방향으로 이동하는 것입니다.</div> <div><br></div> <div>이렇게 두 지점을 잇는 가장 합리적인 방법을 찾는 것을 geodesic을 구한다고 말합니다. 물리학과 학생들이 geodesic에 대해 배울때에는 최단거리로 간답시고 계단도 대각선으로 내려가곤 합니다.</div> <div><br></div> <div><blockquote style="border:1px solid rgb(222,223,223);background-color:#f7f7f7;padding:5px 10px;"><font size="3">1줄 요약 : 유클리드 공간과 특수상대론 시공간에서 가장 합리적인 이동방식은 두 지점을 잇는 직선을 따라 이동하는 것이다. 이것을 'geodesic을 따라간다'고 한다.</font></blockquote><br></div> <div>마지막 부분입니다. 글도 길어지고 어려운 감도 있지만 조금더 힘을 내어 보시길 바랍니다.</div> <div><br></div> <div>1*3 행렬이나 3*1 행렬은 유클리드 공간상의 벡터들과 일대일 대응이 가능합니다. 따라서 행렬은 벡터를 공부할 때 많이 사용하는 도구지요.</div> <div><br></div> <div>유클리드 공간의 불변의 양에 대해 다시 한번 떠올려 보겠습니다. (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 이었지요? 이것을 행렬로 나타내어 보겠습니다.</div> <div><br></div> <div><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201412/14189732396mL3NffaFUBXyfv3KjULV5.png" width="290" height="98" alt="스크린샷 2014-12-19 오후 4.13.03.png" style="border:none;"></div>가 되지요. 특수상대론 시공간에서는 어떻게 될까요?</div> <div><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201412/1418973330wKXe3PRv7IRGqUjLbLrQJXrRLo5E8.png" width="369" height="125" alt="스크린샷 2014-12-19 오후 4.15.18.png" style="border:none;"></div>가 됩니다. 여기에 등장하는 3*3 과 4*4 행렬들은 공간의 metric이라고 부릅니다. "거리"라는 양을 정의해 주는 정사각 행렬들이지요.</div> <div><br></div> <div>일반상대성 이론에서는 이 metric 행렬의 각 성분에 실수가 들어가는 것이 아니라 함수가 자리하게 됩니다. 이렇게 말이지요.</div> <div><br></div> <div><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201412/1418973689f5mm6vA9la.png" width="676" height="126" alt="스크린샷 2014-12-19 오후 4.21.11.png" style="border:none;"></div> <div><br></div>보고만 있어도 마음이 복잡해 집니다. 이렇게 metric이 복잡한 함수의 꼴을 가지게 되면 가장 합리적인 이동방법인 geodesic을 구할 때 직선이 아닌 다른 결과가 나오게 됩니다.</div> <div><br></div> <div>이러한 metric과  geodesic에 대한 이론은 아인슈타인이 만든 것이 아니구요, 일반상대성 이론을 집필하기 이전에 "리만"이라는 수학자에 의해 알려져 있던 사실입니다. 아인슈타인은 이것을 중력에 가져와 쓸 수 있을 것이라는 아이디어가 있었던 것이죠.</div> <div><br></div> <div>결론적으로 geodesic이 직선이 아니라는 말은, 어떠한 힘을 받는 것처럼 시공간을 이동하는 것이 가장 합리적인 이동방법이라는 의미가 됩니다. 아이슈타인은 그 어떤 힘을 중력이라고 생각했지요. 그리고 그 아이디어는 매우 정확했습니다. 현재 스마트폰의 GPS기능에는 일반상대성 이론이 사용되어 길을 찾을 수 있을 정도의 정확도를 제공하지요. 일반상대성 이론에 대한 지식이 없었다면 수 km이상의 오차가 있을 수 밖에 없습니다.</div> <div><br></div> <div><blockquote style="border:1px solid rgb(222,223,223);background-color:#f7f7f7;padding:5px 10px;"><font size="3">1줄 요약 : 일반상대성 이론에서는 metric이 복잡한 함수의 꼴이고, 그 영향으로  geodesic이 직선이 아니라 힘을 받는 궤적이 된다. 일반상대성 이론에서는 그 힘을 중력이라고 생각한다. 그리고 그 주장은 타당하다고 현재까지는 밝혀져있다.</font></blockquote><br></div> <div>따라서 시간이 느리게 간다거나 빠르게 가는 것은 단순히 중력의 세기에 의존하는 것이 아닙니다. metric함수의 꼴이 어떠한가에 영향을 받는 것이지요. 중력의 크기에 의해 영향을 받는다면 지구 중력의 1/6에 해당하는 달에서는 시간이 아주 이상하게 가야 하지요.</div> <div><br></div> <div>metric이 얼마나 이상한 모양인가, 시공간이 얼마나 이상하게 서로 관여하고 있는가, 그것이 중력에 의한 시간지연에 관여하는 바 입니다.</div> <div><br></div> <div><blockquote style="border:1px solid rgb(222,223,223);background-color:#f7f7f7;padding:5px 10px;"><font size="3">마무리 : 단순히 중력의 세기가 아니라 metric의 모양이 시공간 상호간의 영향과 중력에 의한 시간지연에 관여한다.</font></blockquote><br></div> <div>이제 왜 인터스텔라의 파도행성에서 시간지연을 사람이 걸어다닐 수 있는 중력에도 불과하고 주장할 수 있었는지 이해가 되시리라 생각합니다.</div>