몬스터군은 ‘유한단순군’을 분류하는 과정에서 그 모습을 드러냈다. 단순군이란 더 이상 나눠지지 않는 군을 말한다. 자연수의 세계에서 소수가 차지하는 위치와 같다. 따라서 유한단순군을 만들어내고 분류하는 작업은 군론에서 가장 중요한 연구 주제 중의 하나였다. 1980년대 초반에 완성된 유한단순군의 분류에 따르면 유한단순군에는 원소의 개수가 소수인 순환군, 5개 이상의 원소에 대한 짝치환군(=교차군), 리(Lie)타입의 단순군, 그리고 26개의 간헐단순군들이 있다.이들 26개의 간헐단순군 중에서 가장 큰 것은 (196883차원) 원소의 개수가 무려 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000개에 달하는데 그 엄청난 크기 때문에 몬스터라고 불리게 되었다. 몬스터의 존재는 피셔와 그라이스의 작업을 통해 처음으로 알려졌다. 유한단순군을 분류하는작업이 너무나 방대하고 어려운 일이었기때문에 그 일을 드디어 완성했다는 것, 그리고 몬스터 같은 엄청난 크기의 예외적인 단순군의 존재를 증명했다는 것 자체가 거의 기적과 같은 일이었다. 그러나 그게 전부가 아니었다.

 

유한군의 표현을 이해하는 단서는 각각의 기약표현들의 지표(character)를 계산하는 것이다. 몬스터의 지표는 1978년 피셔와 리빙스턴과 쏜이 계산해냈다. 그런데 매케이는 몬스터군의 지표를 살펴보고 깜짝 놀랐다. 처음 두 개를 더해 보고 나서 1+196,883=196,884라는 사실을 발견했기 때문이다. 무슨 유명한 수학자라는 사람이 덧셈을 제대로 했다는 사실에 감격하느냐고 함부로 말하지 말라. 그가 깜짝 놀랐던 이유는 196,884가 정수론에서 핵심적인 역할을 하는 타원보형함수 j의 첫 번째 계수였기 때문이다. 물론 그때 많은 수학자들의 반응은 ‘웃기지 말라’였다.

그러나 1979년 콘웨이와 노턴은 여기에서 더 나아가‘Monstrous Moonshine’이라는 논문을 발표하고, 몬스터는 달빛표현(moonshine module)’이라는 특별한 표현을가지며 그 표현으로부터 나오는 무한급수가 바로 종수(genus)가 0인 보형함수(modular function)들과 일치한다고 주장하였다. 이 무한급수를 ‘톰슨 급수’라고 부른다. 한마디로 말해서 유한단순군의 표현론과 정수론의 보형함수론 사이에 누구도 예측하지 못했던 신비롭고 밀접한 관계가 있다는 얘기다. 이것이 그 유명한 ‘달빛예측(moonshine conjecture)’이다.

그때부터 매케이에게 ‘웃기지 말라’고 했던 많은 수학자들이 이 예측을 증명하려고 혼신의 힘을 쏟았다. ‘달빛예측’이 모습을 드러낸 지 10년이 지나 프렝켈과 레포프스키, 그리고 뫼만은 ‘꼭지점 대수(vertex algebra)’라는 새로운 대수적 구조를 사용하여 ‘달빛표현’을 구체적으로 만들어냈다. 그들은 많은 경우에 ‘달빛예측’이 사실이라는 것도 증명하였다. 그러나 그렇다고 해서 ‘달빛예측’이 완전히 증명된 된 것은 아니었다. ‘달빛예측’ 자체는 1992년 보처즈에 의해 증명이 완결되었고, 그는 그 공로를 인정받아 1998년 베를린에서 열린 국제수학자대회에서 필즈 메달을 수상하였다.

 

 - 출처글 발췌

 

 

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1. 모든 우연의 일치는 (때로는 경이롭게 느껴지는 우연의 일치 조차도) 사실은 충분히 일어날수 있는 평범한 것임을 보여주는 책에서, 그 몇 안되는 예외가능 대상으로 군론에서의 몬스터대칭군(196883)이 짧막하게 그러나 중요하게 소개됨

2. 책에는 대단히 흥미롭게 적혀 있는데 이게 도무지 무슨 소린지 몰라서 인터넷에서 찾아봤는데 관련 자료가 거의 없음

3. 출처는 그중에서 그나마 가장 자세하게 적혀있는 것으로 "몬스터대칭군을 찾아서"라는 책에 대한 추천글임

4. 그러나 출처 글 역시 대단히 경이롭고 흥미 진지하다는 식으로 적혀 있는데 정수론이나 군론에 대해서 1도 모르는 본인은 답답하고 아쉬울 따름

5. 절판된 추천책은 놀랍게도 중고책 값이 새책 값보다 비싸지만 답답함을 풀어보고자, 경이로움을 느껴보고자 오늘 신청했음

6. 혹시 수학을 전공했거나 군론, 정수론을 아시는 분 설명 부탁드립니다.