어디까지를 이해로 봐야 하고 어디까지를 암기로 봐야 할까요?  <div>고등수학 기준으로 생각하겠습니다.</div> <div>이해가 무엇인지 알아보기 위해 예시를 들어보겠습니다.</div> <div>Ex.1)</div> <div>반지름 r의 구의 부피가 </div> <h2 class="h2" style="margin:0px;padding:0px;color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;"><span style="font-size:10pt;">V＝4/3 πr³</span></h2> <div>임을 이해했다. 암기했다.</div> <div>여기서 이해했다는 것은, 무엇을 이해했다는 거고, 암기했다는 것은 무엇을 암기했다는 것일까요?</div> <div>좀 더 구체적으로 적어봅시다.</div> <div>구의 부피에 대해 암기했다는 것은,</div> <div>"구의 반지름이 r인 경우에 구의 부피는 <span style="color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;font-size:13.3333px;">'</span><span style="font-size:10pt;color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;">V</span><span style="color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;font-size:10pt;">＝4/3 πr³'이 된다."</span><span style="font-size:9pt;">는 것이고,</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">이해했다는 것은, </span></div> <div>"구의 반지름이 r인 경우에 구의 부피는 <span style="color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;font-size:13.3333px;">'</span><span style="font-size:10pt;color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;">V</span><span style="color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;font-size:10pt;">＝4/3 πr³'이 된다." </span><span style="font-size:9pt;">가 되는 이유를 알고 있다는 것이죠.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">고등수학 기준으로 그 이유를 설명해보겠습니다.</span></div> <div>(구분구적법 배우기 전)</div> <div>초등, 중등과정? 에서 원기둥의 2/3의 부피가 구의 부피임을 이용해서 구의 부피를 구했습니다. </div> <div>또한, 이를 보여주기 위해, 구에 물을 채우고, 이를 원기둥에 옮겨 넣어서 2/3임을 보여줌으로써, 직관적으로 보여줬습니다.</div> <div>이는 적절한 이유겠죠? 또한, 이는 이해한 것입니다.</div> <div>(구분구적법을 배움)</div> <div>구를 수많은 원기둥으로 나눈 이후에, 극한을 이용해 구의 부피를 구합니다.</div> <div>이 또한 적절한 이유겠죠? 이것도 이해한 것입니다.</div> <div><span style="font-size:9pt;">Ex.2)</span></div> <div>삼각함수의 덧셈정리가</div> <div><div><b>sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ</b></div> <div><b>cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ</b></div></div> <div>임을 이해했다(?) 암기했다.</div> <div>이또한 구체적으로 들여다봅시다.</div> <div>삼각함수의 덧셈정리를 암기했다는 것은</div> <div><b>sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①</b></div> <div><b>sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②</b></div> <div><b style="font-size:9pt;">cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…③</b><span style="font-size:9pt;">        </span></div> <div><b style="font-size:9pt;">cos(α-β)</b><b style="font-size:9pt;">=cosαcosβ+sinαsinβ…④</b></div> <div>이 수식들을 하나하나 외웠다는 것입니다.</div> <div>그럼 여기에서 이 수식은 이해했다고 말할 수 있을까요?</div> <div>수식이 어떻게 나오게 됬는지는 말할 수 있습니다.</div> <div>이것도 고등학교 기준으로 그 이유를 설명해보겠습니다.</div> <div>(내적 배우기 전)</div> <div>원을 이용해 <b style="font-size:9pt;">cos(α-β)</b><span style="font-size:9pt;">를 유도합니다. (자세한 것은 고등교과 참조) 그 후 값을 조절해서 4개의 식을 유도할 수 있습니다.</span></div> <div>수식이 이렇게 나옴을 이해한 것입니다.</div> <div><span style="font-size:9pt;">(내적 배운 후)</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">내적으로 </span><span style="font-size:9pt;"> </span><b style="font-size:9pt;">cos(α-β) </b><span style="font-size:9pt;">를 유도합니다.(이건 교과서에 실려있지 않은 걸로 알고 있습니다) 위와 동일.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">이것도 수식이 이렇게 나옴을 이해한 것입니다.</span></div> <div>Ex.3) </div> <div>정의(Definition)는 어떻게 봐야 할까요? 원의 부피를 암기, 이해로 나눴고, 어떤 정리를 암기, 이해로 나눴습니다.</div> <div>정의는 암기 이해로 나눠질 수 있을까요? 정의는 그게 정의이니 외워야만 할까요?</div> <div><br></div> <div>정적분의 정의를 예로 들어보겠습니다.</div> <div><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201703/1490515305854499051cfa400fa9e373b5de466bdb__mn167702__w600__h59__f7394__Ym201703.jpg" width="600" height="59" alt="fsdd.jpg" style="border:none;"></div></div> <div>이 관계식, 즉 등호 관계는 정의입니다. 이를 이해했다. 암기했다. 로 나눌 수 있겠는데요.</div> <div>우선 암기했다고 한다면, 위 수식 자체를 외운 것이겠죠.</div> <div>이해는 어떤 것일까요?</div> <div>고등학생이 우측의 식을 이해하려고 합니다. </div> <div>f(x)라는 함수를 구간 [a,b]에서, 밑변을 Δx 크기로 만들고, 높이는 f(xk)로 이루어진 직사각형들을 n개 만든다. 그 n을 무한으로 보내버리면, 직사각형이 아주 작아져서, a에서 b까지의 함수의 넓이를 구할 수 있어진다.</div> <div>라고 이해를 합니다.</div> <div>두 번째로, 좌측의 수식은 처음 보는 수식입니다. 여기도 그냥 암기와 이해를 할 수도 있습니다.</div> <div>암기는 수식 자체를 외워버립니다. 저렇게 표현된다는 것을요.</div> <div>이해는 어떨까요?</div> <div><span style="font-size:9pt;">고등학생 왈:</span><span style="font-size:9pt;">Integral 이라는 수식은 sum의 앞글자인 s를 길게 늘인 것이구나. 그래서 저렇게 생겨먹었군. 또한 그 구간은 s를 길게 늘인 것의 아래와 위에 표시하는구나. f(x)는 함수를 뜻하고, dx는 미분에서 본 거랑 비슷하네? 아주 작은 x를 표현하는 것인가 보네.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">아하 그러면 f(x)에 dx를 곱한 것, 즉 [f(x)dx=직사각형]을 sum 하라는 거구나. a에서 b까지.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">로 이해를 할 수 있습니다</span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;">다 이해를 할 수 있습니다.</span></div> <div><br></div> <div>//</div> <div>//</div> <div>여기서부터 제 견해를 피력해 보겠습니다.</div> <div>과연 다 이해일까요??</div> <div>Ex.1),<span style="font-size:9pt;">Ex.2),</span><span style="font-size:9pt;">Ex.3)은 이해라고 볼 수 있을까요? 제가 이해라고 썼다 해서 이해가 되는 것은 아닙니다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;">Ex.3)은 이해인가요? 정의에 나타난 수식들에 의미를 만들어 낸 것은 아닐까요? (의미부여)</span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;">Ex.2)는 이해인가요? 뭘 이해한 것이죠? 삼각함수의 덧셈정리가 저렇게 나오는 것이다. 라는 것을 이해한 것인가요?</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">정리가 나오는 것을 이해했다? </span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;">Ex.1)은 제 견해로는 이해라고 봅니다.</span></div> <div><br></div> <div>여기서 Ex.1,2,3)에서 이해의 공통점은 있습니다.</div> <div>바로 (자신포함) 남들을 설득할 수 있게 표현하는 것입니다.</div> <div>중요한 것은 설득 가능하다는 것입니다.</div> <div>설득당하지 않으셨다면, 이해를 했다고 말할수는 없습니다.</div> <div>제 생각에 이해라는 것은, 나를 설득 가능하고, 또 이를 남에게 설득 가능하게 설명할 수 있는 표현이라고 봅니다.</div> <div>저는 이해를 이렇게 정의했습니다.</div> <div>사실 이해에 대한 정의가 사람마다 다르다 보니, 이야기가 진척되지 않는 거 같습니다. 우선 먼저 확실하게 정의를 내려야 한다고 봅니다.</div> <div><font size="4"><b><u>이해는 뭐라고 생각하시나요?</u></b></font></div> <div><font size="2">→(사실 이 글의 메인 주제입니다. ㅠㅠ)</font></div> <div>//</div> <div>//</div> <div>글은 여기까지입니다. 아랫부분은 +<span style="font-size:9pt;">α입니다.</span></div> <div><br></div> <div><br></div> <div><br></div> <div>「읽지 않으셔도 괜찮습니다. 생각해 볼 만한 이야깃거리입니다.</div> <div><br></div> <div>Ex.1-1) <b>고등교과에서 이해 가능한가?, 또한 잘못된 이해가 나올수도 있지 않을까?</b></div> <div>반지름 r의 구의 겉넓이는 </div> <h2 class="h2" style="margin:0px;padding:0px;color:#222222;font-family:'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', '맑은 고딕', '돋움', dotum, sans-serif;"><span style="font-size:10pt;"> S＝4πr²</span></h2> <div>임을 혹시 고등학교과정에서 이해하셨습니까? 암기하셨습니까? 이해하셨다면 어떻게 이해를 하셨습니까?</div> <div>고등교과 내에서 이해를 시킬 수 있습니까? 즉 설득을 시킬 수 있습니까?</div> <div><br></div> <div>Ex.2-1) <b style="font-size:9pt;">암기와 이해의 구분은 어디에서?</b></div> <div>덧셈정리에서 합차를 곱으로, 곱을 합차로 만드는 공식이 있습니다.</div> <div>식이 8개 나옵니다.</div> <div>이를 외우는 방법이 있습니다.</div> <div>1. 그냥 외운다.</div> <div>이것은 암기한 것이죠.</div> <div>//</div> <div>2. </div> <div>신푸신은 두신코</div> <div>신마신은 두코신</div> <div>..</div> <div>..</div> <div>로 올싼타크로스(1,2,3,4사분면에서 삼각함수의 부호)와 같이 외우는 방법이 있습니다.</div> <div>이는 이해한 것입니까?</div> <div>//</div> <div>3.</div> <div><div><b>sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①</b></div> <div><b>sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②</b></div> <div><b style="font-size:9pt;">cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…③</b><span style="font-size:9pt;">        </span></div> <div><b style="font-size:9pt;">cos(α-β)</b><b style="font-size:9pt;">=cosαcosβ+sinαsinβ…④</b></div></div> <div><div>에서 <b style="font-size:9pt;">①+</b><b style="font-size:9pt;">②를 통해 </b><b style="font-size:9pt;">sinαcosβ를 유도 가능 즉 곱을 합차로 바꾸는 것을 유도 가능합니다. </b><b style="font-size:9pt;">α+β=A ,</b><b style="font-size:9pt;">α-β=B를 통해 합차를 곱으로 바꿀 수 있습니다.</b></div></div> <div>이런 방법을 통해 외우는 것은 이해한 것입니까?</div> <div><br></div> <div>Ex.3-1) <b>현재 고등학생에게 주는 질문</b></div> <div>정적분의 정의는 </div> <div><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201703/1490515305854499051cfa400fa9e373b5de466bdb__mn167702__w600__h59__f7394__Ym201703.jpg" width="600" height="59" alt="fsdd.jpg" style="border:none;"></div> <div>입니다.</div> <div><br></div> <div>근데 이 계산 값이 왜 F(b)-F(a)일까요?</div> <div>(고등학교 설명기준)</div> <div>미분의 반대는 부정적분입니다. 정적분은 넓이를 구하기 위함입니다. 즉 정적분은 상수입니다. 미분하면 빵이 돼버립니다.(구간이 상수일 때)</div> <div>근데, 정적분의 넓이를 구하는데, f(x)의 부정적분인 F(x)에 함숫값 b a를 대입한 값을 뺀 값이 어떻게 해서 정적분의 값이 될 수 있을까요?」</div> <div><br></div> <div><br></div> <div><div>여러 의견 부탁드려요!</div> <div>자신의 의견을 피력해 주시길 바랍니다!!</div></div>