<div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201608/147073110920024ef6f2f74fb0b004e153c59e4389__mn300105__w1600__h1067__f264866__Ym201608.jpg" width="800" height="534" alt="DSCF4712.JPG" class="chimg_photo" style="border:none;" filesize="264866"></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">적분가능한 함수의 한 점을 임의의 값으로 바꿀지라도 (다시말해 한 점에서 불연속으로 만들지라도) 리만적분 가능하지 않습니까?</div> <div style="text-align:left;">최대한 간단히 묻기 위해 증명은 생략했습니다</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">그러면 사진처럼 모든 자연수 개의 점에서 불연속일지라도 적분가능하다고 생각했습니다</div> <div style="text-align:left;">자연수 개수는 가산 개이기에 적분가능한 함수가 가산 개의 점을 임의로 바꿀지라도 적분가능하며 그 값은 동일하다고 보았습니다</div> <div style="text-align:left;">책을 뒤져봐도 이런 내용은 없더라구요</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">그런데 대표적인 적분 불가능한 함수인 f:[0,1]->R, x가 유리수이면 1, 무리수이면 0인 함수를 생각했을 때, 유리수의 개수는 자연수의 개수와 대등하고</div> <div style="text-align:left;">따라서 x가 유리수일때 함수값을 임의로 바꿀지라도 (만일 이 함수가 적분가능하다고 가정하여) 적분가능하며 그 값은 동일하다라고 생각했습니다</div> <div style="text-align:left;">어떻게 바꿔도 모순이 나온다면 가정이 틀렸을테고 적분불가능이겠지요</div> <div style="text-align:left;">그런데 모든 유리수 x에 대해서 함수값을 0로 바꾸면 이 함수는 상수함수 0가 되고 적분가능하며 적분값은 0입니다</div> <div style="text-align:left;">분명 저 함수는 적분 불가능이거든요 뭐가 잘못됐을까요..?ㅠㅠ</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">책을 열심히 뒤져보니 단조함수는 기껏해야 가산 개의 불연속점을 지니며, 어떠한 단조함수라도 적분가능하다고 있습니다</div> <div style="text-align:left;">또는 유한 개의 불연속점을 지닌 함수는 적분가능하다고 되어있습니다 무언가 연결고리가 보일것만 같은데 아무리 머리를 쥐어짜도 모르겠네요ㅠㅠ</div> <div style="text-align:left;">왜 유한 개만 되고, 가산 개가 되려면 단조라는 정보가 붙어야할까요</div> <div style="text-align:left;">도와주세요~!</div>