타원을 어떤 대칭축에 대해 회전시킨 도형을 '타원체'라고 부르며 <div><br></div> <div><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201408/14073918047OIVFn1F8bHNXxTkqyJFdz2xJE4guV.jpg" width="495" height="433" alt="타원체.JPG" style="border:none;"></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">위와 같은 예쁜 달걀 모양을 이룹니다. (지구와 같은 행성도 사실은 완벽한 구가 아닌 자전에 의해 타원체를 이루게 됩니다. 비록 변이되는 정도가 엄청 작지만요)</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">이런 타원체를 수학적으로 표현을 하면 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D+%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D+%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%3D1" style="font-size:9pt;margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">이라는 아주 아름다운 식으로 표현된답니다.</div></div> <div style="text-align:left;">그럼 이 타원체를 칼로 싹둑 자르면 어떻게 될까요?</div> <div style="text-align:left;">특별히 타원의 중심을 지나고 x 축을 포함하는 평면에 대해서 잘라보겠습니다.</div> <div style="text-align:left;">그럼 자르는 평면을 임의로 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?z%3Dky" style="font-size:9pt;margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">라고 하겠습니다.</div> <div style="text-align:left;"><span style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">우선 </span><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?z%3Dky" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt=""><span style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">를 타원체 방정식에 대입하면</span> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D+%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D+%5Cfrac%7Bk%5E2y%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%3D1" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt=""> 이 성립합니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">따라서 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%5E2%7D+%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%29y%5E2%3D1" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">이므로 x=a*cos(t) 로 매개화를 시키겠습니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">그럼 곡선 C의 매개변수 방정식은</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3Da%5Cmathrm%7Bcos%7Dt%2C%20y%3D%5Cfrac%7Bbc%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">가 되며 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?z%3Dky" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt=""> 이므로</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29%3D%28a%5Cmathrm%7Bcos%7Dt%2C%20%5Cfrac%7Bbc%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%2C%20%5Cfrac%7Bbck%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%29" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">를 만족합니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">이제 이 곡선 C 가 타원의 방정식임을 보이면 끝입니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">타원의 방정식은 흔히 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bp%5E2%7D+%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bq%5E2%7D%3D1" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">꼴로 표현되는 것이 일반적입니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">하지만 </div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201408/1407392135HvZgLUjiCpS3ZDRV1RXwlm.jpg" width="528" height="433" alt="dd.JPG" style="border:none;"></div><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">위의 그림에서 알 수 있듯이 곡선 C는 좌표축에 대해 비스듬히 세워져있기 때문에 관측하기가 어렵습니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">그래서 곡선 C를 좌표축에 대해 똑바로 세우는 작업을 시행하려 합니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201408/1407392184eIJFcxAXDR4H.jpg" width="433" height="320" alt="2.JPG" style="border:none;"></div><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">타원체의 모습을 x축이 안보이는 각도에서 관찰을 하면 위와 같기 때문에</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">곡선 C를 x축에 대해 각도 w 만큼 회전시키도록 하겠습니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">(w는 곡선 C를 포함하는 평면이 z축을 포함하고 y축에 수직이 되도록 하는 각도입니다.)</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathrm%7Btan%7Dw%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">이기 때문에 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathrm%7Bsin%7Dw%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">, <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathrm%7Bcos%7Dw%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">를 만족합니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">따라서 회전변환과 관련된 행령 공식에 따라 대입을 해주면</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%2Cy%2Cz%29%3D%28a%5Cmathrm%7Bcos%7Dt%2C%20%5Cfrac%7Bbc%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%2C%20%5Cfrac%7Bbck%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%29" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt=""> 점을 x축에 대해 w 만큼 평행이동시킨 점의 좌표는</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmath%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%26%5Cmathrm%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%7D%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%5C%5C%200%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%26%5Cfrac%7Bk%7D%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%5Cmathrm%7Bcos%7Dt%5C%5C%20%5Cfrac%7Bbc%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bbck%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt=""> 가 되어 계산을 하면</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%5Cmathrm%7Bcos%7Dt%5C%5C%200%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bbc+bck%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">가 됩니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">즉 정리를 하면</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x%27%2Cy%27%2Cz%27%29%3D%28a%5Cmathrm%7Bcos%7Dt%2C0%2Cbc%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D%5Cmathrm%7Bsin%7Dt%29" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">가 됩니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">따라서 위의 곡선을 C' 라고 할 때 C' 는 </div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">x=pcost, z=qsint 꼴 을 만족하므로 C' 는 항상 타원의 방정식임을 알 수 있습니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">그럼 타원 C가 완벽한 원이 되기 위한 k의 조건은 무엇일까요?</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">그러기 위해서는 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bp%5E2%7D+%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bq%5E2%7D%3D1" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">에서 <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">p=q 여야 하므로</span></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a%3Dbc%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bk%5E2+1%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bc%5E2+b%5E2k%5E2%7D%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt=""> 여야 합니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">위 방정식을 k에 대해서 게산하면 </div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bb%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%5E2-a%5E2%7D%7Ba%5E2-c%5E2%7D%7D" style="margin:10px;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;line-height:normal;text-align:center;" alt="">임을 알 수 있습니다.</div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;"><br></div> <div style="font-family:dotum;font-size:11.818181991577148px;line-height:16.363636016845703px;">(물론 b>a>c>0 이라는 조건을 달아야겠죠. 그래야 x축의 고정된 길이를 두고 z축 방향의 길이가 점점 증가하면서 x축 길이와 같아질 수 있으니까요)</div></div>
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