<p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/14042092114n4CmlFTUlTAOdOBYYdO.jpg" width="252" height="237" alt="1.jpg" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">위의 그림처럼 수도꼭지에서 졸졸 흐르는 물은 윗부분은 두꺼운 면적을 가지다가 점점 아래로 내려갈수록 얇아지는 모습을 취하게 됩니다. (물론 위의 그림에선 아랫부분에서 물이 모여있지만 그런 경우는 제외시킵시다.) 그럼 저 물줄기를 옆에서 바라보았을 때 나타나는 매끈한 곡선을 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요?</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209218EqzwuDbat5JmQUtMpAblqeG.png" width="493" height="264" alt="2.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">즉 이런 물줄기의 곡선을 수식으로 나타낼 수 있을까요?</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">그러기 위해서 우선 <strong><span style="font-size:11pt;">모든 유체는 어떤 부분에서든지 면적과 속력의 곱이 일정하다</span></strong>는 사실을 알고 있어야 합니다.</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209225cUHXIoZeJ5MX.png" width="493" height="264" alt="3.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">이런 통 안을 파란색 물이 흘러간다고 생각해봅시다. A 부분의 통 면적이 A, B부분의 통 면적이 B이며 A에서는 길이 s1만큼, B에서는 길이 s2만큼 흘러갔따면 , 같은 시간 t초 동안 저 부피만큼의 물은 항상 일정하게 유지되니까 A*s1이나 B*s2 나 같게 되죠. 이걸 시간 t로 나누면 결국 Av1=Bv2 라는 결론이 나옵니다. 즉 모든 유체는 모든 부분에서 면적과 속력의 곱이 항상 일정하게 나옵니다.</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">그럼 다시 </p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209229qC4TB7I43b.png" width="493" height="264" alt="4.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">이 곡선으로 돌아와봅시다. 편의상</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209237c1TPTkuY.png" width="493" height="264" alt="5.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">반지름이 r인 수도꼭지에서 물이 초기속도 v0로 흘러나온다고 가정합시다. 물론 물은 +x 축 방향으로 중력을 받아 떨어지겠지요. 그리고 임의의 점 (x,y)의 관계를 알아보고자 합니다. x와 y의 관계를 바로 알 수는 없으니, 다른 변수를 이용하여 알아보는게 편할 듯 합니다. 그 때 사용하는 변수를 매개변수라 하며, 여기서는 시간으로 쓰는게 편하겠죠? 그래서 시간 t초가 지났다고 가정합시다.</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">그럼 등가속도 운동 식에 의해 저 점의 x좌표는 </p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/14042092463a3KBQGBbSw9dTru.jpg" width="67" height="52" alt="6.jpg" style="border:none;"><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">가 되겠지요.</span></div> <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">한편 (x,y)에서의 물의 속력을 구하려면 2as=v^2-v0^2 식을 이용하면 </p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209254iLcFc11rRgVlZbTnRp1YFOC6tf3FxJFd.jpg" width="192" height="52" alt="7.jpg" style="border:none;"></div>이므로 <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209258RQiSrDdoVxm1x.jpg" width="129" height="45" alt="8.jpg" style="border:none;"></div>가 됩니다. <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">따라서 (면적)*(속력)=일정 의 사실을 이용하면</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">맨 처음 부분에서의 (면적)*(속력) 값은 </p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209267lBG4ZlFyTGqOvyQZ.jpg" width="61" height="40" alt="9.jpg" style="border:none;"><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">이며 (x,y) 에서의 값은</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> </span><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209273Y5EOSKAqsJSqikBcSqhDnHIyO.jpg" width="53" height="33" alt="10.jpg" style="font-size:9pt;line-height:1.5;border:none;"><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">이므로</span></div> <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209279ehEJbMuHCvgT66lYuJiVMC.jpg" width="128" height="40" alt="11.jpg" style="border:none;"></div>가 성립하여 y를 t에 대해 정리하면 <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209284XdGpfwgGVvyQB3mwjDtF6kf7AGSGJD.jpg" width="204" height="80" alt="12.jpg" style="border:none;"></div>가 나오게 됩니다. <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">즉 우리가 구하는 (x,y) 라는 점은 새로운 매개변수 t에 대하여</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"><img src="http://kinimage.naver.net/20140701_179/1404178840296dckud_JPEG/0306690_1404178840.jpg" class="__se_object" align="middle" alt=""> 라는 식을 만족합니다.</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;">한편 <img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/140420929953wtJ4wadLUhTvkzJaKIVG2.jpg" width="96" height="52" alt="14.jpg" style="border:none;"><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> 식을 변형하면</span><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209304IcbVRSZBfluRDMKe5UKCJ856jop1.jpg" width="88" height="57" alt="15.jpg" style="font-size:9pt;line-height:1.5;border:none;"><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> 이기 때문에 y에 대입하여 주면</span></div> <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/14042093647JjLSOrltdzy6i3.jpg" width="199" height="80" alt="16.jpg" style="border:none;"></div> <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><br></div> 이라는 곡선을 가진다는 사실을 알 수 있습니다. <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">2g/v0^2 은 일정한 상수 k 로 둔다면 <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">중력에 의해 떨어지는 물줄기는 다음과 같이</span></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209374tnIpr1hogotC72n.jpg" width="167" height="60" alt="17.jpg" style="border:none;"></div><br></div>의 식을 가지는 곡선임을 알 수 있습니다. <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">r0=1, k=1 일 때의 그래프인</p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209380uXOQ1yCoQhkNgqon6pWNGiIIU9n9ADg.jpg" width="135" height="53" alt="18.jpg" style="border:none;"></div>를 그려보면 <p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209389YDuMTsJPsgPD5rEagPPDYZCZwBKS.png" width="551" height="207" alt="19.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">다음과 같은 물줄기 형태를 가진다는 사실을 알 수 있습니다. (x<0 인 부분은 무시하셔도 좋습니다. x>=0 이라는 자명한 조건을 달고 있기 때문에)</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">수도꼭지의 주둥이 반지름인 r0 가 넓어질수록 물줄기도 넓어질거란 사실은 자명합니다. 실제로</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209396h6PLJtpICQKk6BOdwj5s.png" width="391" height="225" alt="20.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">주둥이의 반지름을 2배로 넓히자 빨간색 그래프처럼 물줄기가 두꺼워지는 모습입니다.</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">그렇다면 k 값이 증가하면 어떻게 될까요? k=10 를 대입해보면(r0는 1로 고정)</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"></p> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201407/1404209403qv1huEMBsI9hmnvWpBkPU5lPyJlYFPPs.png" width="551" height="220" alt="21.png" style="border:none;"></div><br><p></p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">빨간색 곡선처럼 더욱 홀쭉해진 모습을 볼 수 있습니다. k = 2g/v0^2 이니 k가 증가하려면 g가 증가하거나 v0 가 감소하여야 하죠. 즉 중력가속도가 더 크거나 물이 떨어지는 처음속도가 작으면 작을수록 물줄기가 더 빨리 홀쭉해진다는 사실을 알 수 있습니다.</p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;"> </p> <p style="margin:0px;padding:0px;font-family:'돋움', Dotum, Helvetica, sans-serif;">봐주셔서 감사합니다.</p>
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