<p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">x-3 = 5일 때, x를 구하시오(1점)</font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">답) 우선, x의 상세한 값을 가지기 전에, 이 문제의 해가 존재하고, 또 유일하다는 것을 우선 보이도록 합시다. </font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">답이 존재하지도 않는 문제를 푸는 것도 질색이거니와, 열심히 답을 구했는데 그것이 유일한 답이라는 것을 확신할 수 없다면 그것만큼 골치아픈 일도 없죠.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">제 전문분야는 이쪽이 아니기도 하고(전 해석학이 싫어요..), 또 워낙 잘 알려진 유명한 정리이니까, 네이버에서 슥슥 긁어오도록 하겠습니다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이는 가우스가 증명한 ‘대수학의 기본정리’라는 것인데요, 모든 n차 방정식은 n개의 복소 근을 가진다는, 고등학교 수학만 배우셨더라도 어디선가 들어봤을만한 정리입니다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">[정리1.] 모든 다항식(다항함수)은 복소평면에서 적어도 하나의 0점(즉 해)을 갖는다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">어떤 차수가 1이상인 다항식 P(z)가 복소평면에서 결코 0이 되지 않는다고 가정을 하자.</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">그렇다면, 1/P(z)는 모든 복소평면에서 미분가능하다.(holomorphic on entire plane 이라 하는데, 실제로 복소함수가 미분가능하다는 것과 Tayler 급수 전개 가능하다는 것이 동치입니다.) 왜냐하면, 분모가 0이 되지 않기 때문에...</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">그렇다면, z가 무한대로 갈 때 1/P(z) 는 0으로 수렴한다 (이건 증명하지 않겠습니다. 여기서 중요한 것은 z값에 관계없이 수렴한다는 것입니다).</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">따라서, 어떤 양의 실수 R에 대하여, |z|>R 이기만 하면, |P(z)|<1 을 만족한다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">물론, 1/P(z) 는 전구간에서 연속이고, 복소평면 전체에서 유계(bounded)한 미분가능함수이다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">따라서, Liouville(리우빌)의 정리에 의해서, 1/P(z) 은 상수함수가 된다. 그러므로,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">P(z) 또한 상수가 되어 주어진 가정에 모순된다.//</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">[정리2.] 대수학의 기본정리</font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">정리1에 의하여 차수 n(1보다 크거나 같은 정수)인 다항식에서 하나의 근이 존재함을 보였다. 이 근을 z_1 이라고 하자. 그렇다면, P(z)/(z-z_1) 은 n-1 차 다항식이 될 것이다. 차수(n-1)가 역시 양수라면, 앞의 정리1 을 또 적용할 수 있다. </font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">따라서, 정리1을 n번 적용하면 정확히 n개의 근이 복소평면에 존재함을 알 수 있다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">(물론, 중복되는 것을 따로 센다는 가정하에서 그렇습니다.)//</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">여기서, 정리1을 증명하는 가장 핵심적인 정리인 Liouville(리우빌)의 정리에 대해서 증명합니다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">[증명3.] 리우빌 정리</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">f(z) 가 복소평면 전체에서 미분가능하고, 어떤 적당한 양의 실수 M이 존재하여 부등식 |f(z)| ,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">여기서 모든 복소수 z에 대하여 f'(z)=0 임을 보이면 충분하다. 임의의 실수 z_1을 선택하면, Cauchy's inequality(코오시의 부등식)에 의해서,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">임의의 실수 r에 대하여 |f'(z_1)| ,</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">|f'(z_1)|=<0 이 됨을 알 수 있고, 따라서 f'(z_1)=0 이 된다. 여기서 z_1을 임의로 선택했으므로, 모든 z에 대하여 f'(z)=0 이 된다. </font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">,</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">그러므로, f(z)는 상수가 된다. //</font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">그런데 문제로 주어진 방정식은 1차 방정식이므로, 복소수 상에서 단 1개의 근을 가집니다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">좀더 엄밀하게 하자면 x+c=0꼴이 되어야 합니다만, 위의 방정식이 x+c=0의 꼴로 정리될 수 있다는 것을 보일 예정이니 잠시 넘어가도록 합시다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">본격적인 증명에 앞서, </font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">일단 'group'이라는 개념을 소개하고자 합니다.(한글로는 뭐라고 하는지 잘 모르겠네요..)</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">어떤 집합 G와, 연산 *가 있을 때,</font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">(G,*)가 abelian(commutative) group이라는 것은, 정의에 의해 다음을 의미합니다.</font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #ff0000"><font face="바탕" size="2">(1) 어떤 e가 G 안에 존재하여, 임의의 원소 x에 대해 x*e=e*x=x를 만족하고 이때 e(종종 ‘1’, 혹은 ‘0’이라고 표현됩니다.)를 identity라고 한다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #ff0000"><font face="바탕" size="2">(2) 임의의 원소 x에 대해 y*x = x*y = e를 만족하는 y(종종 x^-1, 혹은 -x라고 표현됩니다)가 존재하고, 이때 y를 x의 inverse라고 한다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #ff0000"><font face="바탕" size="2">(3) 임의의 x,y,z에 대해 (x*y)*z = x*(y*z)를 만족한다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #ff0000"><font face="바탕" size="2">(4) 임의의 x,y에 대해 x*y=y*x를 만족한다</font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">처음 본다면 좀 난해해 보일 수 있지만, 하나하나 대입해 보면 우리가 알고 있는 웬만한 연산과 집합은 위의 조건을 만족합니다. group은 수학에서의 가장 기초적인 성질이며, 이정도 조건도 만족시키지 못한다면 수학적으로 다룰 가치(?)가 없다고도 말할 수 있습니다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">복소수 전체의 집합 C는 +라는 연산에 대해 abelian(commutative) group을 이룹니다.</font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">(딱봐도 x는 정수일 것 같은데 굳이 복소수를 대상으로 하는 이유는, 위에서 보인 대수학의 기본정리가, 방정식이 복소수 안에서 해를 가진다고 했기 때문입니다.)</font></span></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">최대한 엄밀하게 증명하고 싶은 마음은 있지만 C가 abelian group을 이룬다는 것은 수학자들이 열심히 밝혀낸 부분이므로 좀 찝찝하더라도 그대로 쓰도록 합시다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이때 identity는 0이고, inverse는 -x입니다. (저 정의에 대입해보시면, (C,+)가 abelian group이라는 것은 자명하게 느껴질 겁니다. 하지만 수학은 당연하게 느껴지는 사실일수록 증명하기가 어려운 아주 까다로운 특성을 가지고 있죠.)</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이제 드디어 문제의 식, x-3 = 5를 대면할 준비가 되었습니다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이제 양변에 3을 더하여 (x-3)+3=5+3을 만들고..... 여기서 잠깐!</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이렇게 마구잡이로 양변에 3을 더하기 전에, 우리는 x-3 = 5와 (x-3)+3=5+3가 정확히 같은 의미라는 것을 확신해야 합니다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">즉, 3을 더한다는 행위가, 3이 더해지는 대상이 되는 수가 다를 경우 3이 더해진 후에도 두 값이 다르고, 같은 수 두 개에 3을 더해야만 3을 더한 후에도 같아진다는 것입니다. 즉, f가 임의의 복소수 x를 x+3으로 보내는 함수라고 했을 때, f가 일대일 함수여야 한다는 것입니다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">만약에 f가 일대일 함수가 아니라고 가정해봅시다. f가 well-defined function이므로, f가 one to one이라는 것은 f의 kernel(=f에 의해 0으로 사상되는 x들의 집합.) 이 trivial하지 않다, 즉 kernel 안에 여러 개의 원소가 들어 있다는 것을 뜻합니다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">(이 부분을 엄밀하게 증명하고 넘어가는 것 역시 제 실력을 벗어납니다 ㅜㅜ</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">정성적으로 설명드리자면, 일대일 함수가 아니라는 것은 여러개의 원소가 하나의 같은 값으로 뭉친다(?)는 것이니까, 0으로 가는 x값들도 여러개가 있다..라는 겁니다.)</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">여기서 보조정리 하나를 가져오도록 하겠습니다.</font></span></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d">claim) </span><span style="color: #5d5d5d">임의의 group의 임의의 원소 x에 대해, x의 inverse는 유일하다</span></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d">proof) </span><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d">x의 inverse가 여러 개라고 가정하자, 즉, x*y=y*x=e, x*z=z*x=e</span></font></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">이때 (z*x)*y=z*(x*y)이고, (group의 정의 (3)에 의해) z*x=e, x*y=e이므로</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">e*y=y=z*e=z가 되어, y와 z는 같다. 즉 inverse는 유일하다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">자 그럼 f의 kernel의 원소, 즉 x+3=0이 되는 서로 다른 원소가 여러개 있다면 어떨까요?</font></span></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US" style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">x+3=3+x=0, y+3=3+y=0,(group의 정의 (4)에 의해, 순서를 바꿀 수 있습니다.) 즉 x와 y는 둘다 3의 inverse입니다. 그런데 claim에 의해 3의 inverse는 유일하므로 x와 y는 같아야 합니다.</font></span></p> <p class="바탕글"><span style="color: #5d5d5d"><font face="바탕" size="2">따라서 모순이 발생하고 ,f는 일대일 함수입니다. </font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">그러므로 x-3 = 5와 (x-3)+3=5+3가 정확히 같은 의미라는 것을 알았습니다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">일단 좌변부터 살펴봅시다. group의 정의 (3)에 의해, (x-3)+3 = x+(-3+3)</font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">-3은 3의 inverse이므로, -3+3=3+(-3)=e(identity)가 됩니다. 이 경우 e=0이죠.</font></span></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">그리고 identity의 성질에 의해 x+(-3+3)=x+e=x가 됩니다.</font></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">우변의 경우 상당히 난감합니다. 5+3이라니! 이것을 어떻게 계산해야만 할까요?</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">다행히도 5와 3은 둘다 자연수이고, 자연수 간의 덧셈은 공리에 의해 비교적 간단히 계산할 수가 있습니다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">공리의 정확한 statement는 제대로 기억하지 못합니다만, 덧셈의 공리에 의해 자연수의 ‘+1’이 정의됩니다. 즉, </font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5, 5+1=6, 6+1=7, 7+1=8, ...</font></span></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이런 식입니다. 이는 무한히 반복되나 8까지만 있어도 충분할 것 같습니다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">따라서 5+3은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.</font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">5+3 = 5+(2+1) = 5+((1+1)+1)</font></span></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">여기서 group의 정의 (3)을 이용하여 괄호의 위치를 바꿉니다. 즉,</font></p> <p class="바탕글"><span lang="EN-US"><font face="바탕" size="2">5+((1+1)+1) = 5+(1+(1+1))=(5+1)+(1+1)=6+(1+1)=(6+1)+1=7+1=8</font></span></p> <p class="바탕글"> <font face="바탕" size="2"> <o:p></o:p></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">그러므로 두 결과를 합치면 <span lang="EN-US" style="color: #ff0000">x=8,</span><span lang="EN-US"> x=8입니다!</span></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">축하하십시오! 당신은 x-3=5라는 일차 방정식을 풀 수 있게 되었습니다!</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">길거리에 나가서 사람들에게 외치십시오! “나는 x-3=5의 답을 알고 있다!!”</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">그리고 이 방법을 응용한다면, 당신은 x+5=10, x-2=8과 같은 많은 난해한 문제들 역시 다룰 수 있게 되었습니다. </font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">자신을 자랑스러워하셔도 좋습니다. 환호하십시오! 당신은 x-3=5를 알고 있습니다!</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">선생님 앞에 나아가 당당히 말하셔도 좋습니다. "선생님, 전 이 유치원에서 더이상 배울게 없습니다. 초등학교로 가게 해 주십시오!"</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><br /></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><br /></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">이 증명을 보고...</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">1. 뭐야 이 미친놈은.. 할짓이 그렇게 없나 -> 문과</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">2. 이걸 증명해서 어딘과 써먹을 데가 있나? -> 물리과, 생명과</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">3. ㅉ..쩐다! -> 수학과</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2">여러분 수학과로 오세요 특히 여학생분들 ㅜㅜ 수학과는 꿈과 희망이 가득한 곳입니다.</font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><br /></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><br /></font></p> <p class="바탕글"><font face="바탕" size="2"><br /></font></p> <p class="바탕글">후.. 근데 난 왜 이런 꿀같은 주말에 이런 거나 끄적거리면서 시간을 낭비하고 있을까요 ㅋㅋㅋ;; </p>
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