질문 1) 아이가 두 명인 집이 있습니다. 그 중 한 아이는 여자아이라고 합니다. 그러면 다른 한 아이도 여자아이일 확률은?
댓글 조언에 따라 문제를 좀 더 명확하게 바꿔봤습니다.
등껍질님, Limeade님 감사합니다.
질문 1) 아이가 두 명인 집이 있습니다. 여자아이가 있냐고 물어보니 그렇다고 대답 합니다. 그러면 아이가 둘 다 여자일 확률은?
간단한 질문이지만 많은 분들이 50% 라고 답하는걸 봤습니다.
사실 정답은 1/3, 약 33% 입니다.
왜냐하면 아이가 두 명인 집은 첫째와 둘째의 성별에 따라서
딸-딸, 딸-아들, 아들-딸, 아들-아들
이렇게 네 종류가 있고, 모두 확률이 같습니다.
그런데 이미 딸이 한명 있다고 했으니 아들-아들 인 경우는 제외되고
따라서 남은 3가지 경우 중 둘 다 딸인 경우는 1가지 경우이므로
문제의 답은 1/3 이 됩니다.
아래는 조건부확률 예로 들려고 하였으나... 문제가 좋지않아서 삭제합니다. 안보셔도 됩니다. ㅠㅠ
... ? 뭔가 속는 듯한 느낌이 드실 수도 있어요. ㅎㅎ
아래에 했던 질문을 다시 해보지요.
오랫만에 만난 동창에게 아이가 셋 있다고 합니다.
그 중 한 아이라며 옆에 있던 여자아이에게 인사를 받았습니다.
다른 아이는 어디있냐고 했더니 한명은 놀이터에 있고, 다른 한명은 학원에 갔다고 합니다.
질문 2) 놀이터에 있는 동창의 아이가 여자아이일 확률은 얼마일까요?
수정) 위 질문은 제 의도와 다르게 잘못한 "틀린" 질문입니다. 댓글에서 지적을 받아 문제를 수정하면서 원래 문제를 남겨 둡니다.
지적해주신 Limeade님에게 감사드립니다.
오랫만에 만난 동창에게 아이가 셋 있다고 합니다.
여자아이가 있냐고 물어보니 그렇다고 하면서 세 아이는 지금 집, 놀이터, 학원에 있다고 합니다.
질문 2) 놀이터에 있는 동창의 아이가 여자아이일 확률은 얼마일까요?
이 경우에도 앞에서 푼 방법과 같이 경우를 나눠서 첫째-둘째-셋째 의 순서로 모든 경우를 나열해보면
딸-딸-딸
딸-딸-아들
딸-아들-딸
딸-아들-아들
아들-딸-딸
아들-딸-아들
아들-아들-딸
아들-아들-아들
이렇게 8가지 경우의 수가 나오고 각각의 확률은 같습니다.
여기서 딸이 한명 있다고 했으니, 아들-아들-아들 인 경우는 제외하면
전체 가능한 경우의 수는 7 가지가 됩니다.
딸이 있는 각각의 경우를 살펴봅시다.
딸이 한명인 경우 : 3가지 경우
아들이 2명이므로 딸이 놀이터에 있는 경우는 없습니다.
딸이 두 명인 경우 : 3가지 경우
2명중 1명이 지금 인사하고 있는 딸이고, 나머지 2명이 각각 놀이터와 학원에 있어야 하므로 딸이 놀이터에 있을 확률은 1/2 입니다.
딸이 세 명인 경우 : 1가지 경우
3명중 1명이 지금 인사하고 있는 딸이고, 나머지 2명이 각각 놀이터와 학원에 있어야 하므로 딸이 놀이터에 있는 확률은 1 입니다.
따라서 전체 7가지 중 3가지는 확률이 0%, 3가지는 50%, 1가지는 100% 입니다.
그러므로 확률은 5/14 가 됩니다. 대략 35% 정도 됩니다.
이게 조건부확률입니다. 즉, 정보가 얼마나 주어지느냐에 따라서 같은 문제 상황인데도 결과에 대한 확률이 다르게 계산되는 것이지요.
여자냐 남자냐로 나눠서 생각하면 언제든지 확률은 반반 아니냐? 라고 생각하는건 지극히 자연스럽습니다.
하지만 조건부확률은 직관적으로 당연해 보이지 않지만 결국 계산하거나 시뮬레이션 해보면 당연해 보이지 않는게 맞기 때문에 문제이지요. 도박에서도 자주 나타나구요. 그리고 쉽게 받아들이지 못합니다.
조건부확률 문제 중에 몬티홀 문제가 있습니다. 자세한 얘기가 검색하면 금방 나올거예요.
몬티홀 문제에서도 많은 사람들이 틀린 답을 정답이라고 믿고 있었고, 심지어 수학자들도 그랬어요.
한 가지 예를 더 들어볼께요.
두 개의 상자가 있는데 그 중 한 상자에만 금을 넣어놨고, 어느 상자에 넣어놨는지는 모릅니다.
두 개의 상자를 당신과 당신의 친구가 하나씩 가졌습니다.
당신이 가진 상자에 금이 들어있을 확률은 1/2 이겠지요.
하지만 당신의 친구는 이미 상자를 열어봤고, 자신의 상자에 금이 있다는 걸 당신에게 알려준다면,
당신은 이제 당신의 상자에서 금이 나올 확률이 0 이라는 것을 압니다. 상자를 열지 않아도 말이죠.
아마도 친구가 이미 말해줬는데도, 여전히, "그래도 내 상자에 금이 있을 확률은 1/2 이야" 라고 말하는 사람은 없을 겁니다.
친구가 말해준 조건(친구 상자에 금이 있다)이 하는 역할은 가능한 경우 중 절대 발생할 수 없는 것을 지워버리는 역할을 하게 됩니다.
확률은 (사건의 경우) / (전체 발생가능한 경우) 이므로 새롭게 제공된 정보는 확률에 영향을 주게 되지요.
물론 위의 상자안의 금 과 같은 간단한 경우는 쉽게 조건부 확률의 개념을 이해할 수 있습니다.
하지만 조금만 문제가 복잡해지면, 예컨데 앞에서 했던 질문과 같은 경우라면, 경우를 나눠서 생각하는 것이 쉽지 않고
그래서 제공된 조건을 무시하고 아무런 정보가 없을 때 할 수 있는 최선의 선택을 하게 됩니다.
즉, 마치 아무런 정보가 주어지지 않은 것 처럼, 여자냐 남자냐 만 따져서 1/2 이라고 답하게 되는 것이지요.
아... 왜 이렇게 글이 길어진건지 모르겠네요. ㅠㅠ
오늘 다른 사람이 질문하길래, 여기에도 가볍게 올리려고 한거였는데... ㅠㅠ
끝은 뭐 어떻게 해아하나..요..
이과 흥했으면.
