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    • 게시물ID : science_29587
    작성자 : 엔델
    추천 : 12
    조회수 : 1915
    IP : 124.53.***.8
    댓글 : 46개
    등록시간 : 2014/01/17 20:40:48
    http://todayhumor.com/?science_29587 모바일
    1-1+1-1+ ... =?

    1 과 -1 이 무한히 번갈아 나오는 수열의 합은 얼마인가?
    즉, 1-1+1-1+ ... = 은 얼마인가?

    daum_equation_1389956895651.png

    1 과 -1 을 하나씩 묶어서 (1-1) + (1-1) + .., 이라고 쓴다면 그 값은 0 이 될 것이다.
    처음 1은 넘기고, -1과 1을 하나씩 묶어서 1+(-1+1)+(-1+1)+... 라고 하면 그 값은 1 이 될 것이다.

    고전적인 수학에서는 이 값은 하나로 결정되지 않으므로, 진동한다고 표현한다. 아니면, 그냥 특정 값을 가지지 않는다고 표현해도 무방하다.

    하지만, 수학자들은 뜬금 없는 황당한 가정을 많이 하는데, 이 경우라면, 이 수열의 합을 하나의 수로 표현할 수 없을까? 라는 가정이다.

    좀더 일반적인 이야기를 하기 위해서, 초기항이 1 이고, 등비가 r 인 수열 A_r(n) 을 생각하고, S_r(n) 은 그 수열의 부분합, S_r 은 S_r(n) 의 극한값, 즉, 무한등비급수 라고 하자.

    daum_equation_1389934516034.png

    |r|<1 에 대해서 S_r = 1/(1-r) 로 수렴함다는 것은 명명백백한 사실이다.

    |r|<1 이란 범위에서 S_r 의 그래프를 그려 보면 이와 같다.
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281-r%29+for+-1%3Cr%3C1
     

    1111.JPG

    그럼 r = -1 일때는 무슨 값을 가지는가?
     daum_equation_1389950903563.png


    S = 1-1+1-1+ ... 이며, 처음에 이야기 했듯이 고전 수학에서는 이 값은 진동하므로, 특정한 값을 가지지 않는다.
    하지만, 여기에 r 에 0 에서 -1로 근접해 간다는 극한의 개념을 도입해 보자.


    daum_equation_1389955879648.png

    r 에 -0.9, -0.99, -0.999 을 넣어서 보면, r = -1 에 갈수록 그 값이 1/2 로 수렴함이 명백하다.


    즉, r->-1 로 갈때의 S_r 의 극한값은 1/2 이다.

    주) 다만, r 에 0 에서 -1 로 가는 방향의 좌극한은 존재하지만, r 이 -2 에서 -1 로 가는 우극한은 존재하지 않는다. 그러므로, 고전적인 극한의 정의를 따르면 r = -1 에서 극한값은 존재하지 않는다.


    그렇다면, 이 극한값을 이용해서 r = -1 일때 S_r = 1/2 이라고 쓸 수 있지 않을까?

    daum_equation_1389956351401.png

    이렇게 쓸 수 있다고 가정하는 것이 해석적 확장 (analytic continuation) 이다.
    이런 개념을 받아 드리면, 다른 수열에도 확장이 가능할 것이다.

    r = -2, -3, -4 에 대해서는 이렇게 된다.

    daum_equation_1389956540586.png

    이 결과를 이용하면 또 다른 수열의 합에 대해서도 적용이 가능해 진다. 등비수열이 아니어도 상관 없다. 
    예를 들어 T = 1-2+3-4+5- ... 이라고 하면,

    daum_equation_1389957597236.png

    이와 같은 방법으로 1-2+3-4+5- ...  = 1/4 이라는 값을 얻을 수 있다.

    그나마 + 와 - 로 진동하는 수열이야 그려려니 하지만,
    양수로만 구성된 수열의 합을 모두 더하면 음수가 된다는 상식적으로 이해할 수 없는 황당하기 그지 없는 결과도 튀어 나온다.
     

    daum_equation_1389957783341.png

    이런 것들은 모두 '해석적 확장'이란 개념을 적용할 때 얻어 지는 결과 이다.
    - 이쁜왕자 -
    - Valken the SEXy THief~~ ^_* -

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