<font size="2">사실 수학 문제는 생각 안 하고 그냥 수식에다 때려박으면 이해는 못 했는데 답 나오는 게 많죠.</font> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">몬티홀 문제를 이렇게 풀어봅시다.</font></div> <div><font size="2"><strike>물론 이해는 해야 합니다</strike></font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">먼저 참가자가 처음에 문 1을 고르고, 사회자가 보여준 염소가 든 문을 문 3이라고 합시다. 그리고 나머지 하나는 문 2입니다.</font></div> <div><font size="2">그래서 처음 선택한 문 1를 바꾸지 않는 것과 문 2으로 바꾸는 것 중 어느 쪽이 자동차를 얻을 확률이 크냐는 것이죠.</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">자동차가 문 1, 문 2, 문 3에 있는 사건을 각각 E1, E2, E3라고 합시다. 또 사회자가 문 3을 여는 사건을 A라 합시다.</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">먼저 문 1을 그대로 선택했을 때 자동차에 당첨될 확률은 "사건 A가 일어났을 때 사건 E1이 일어날 확률"이므로</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">　　P(E1|A) = P(A|E1) * P(E1) / P(A)</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">일단 여기서 P(A|E1)은 <span style="line-height:14.3999996185303px;">"사건 E1이 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률"이니까 1/2입니다(사회자는 문 2 아니면 문 3을 열어줬을테니까). </span><span style="line-height:14.3999996185303px;">그리고 P(E1)은 당연히 1/3이죠. P(A)는 조금 복잡한데, 다음과 같이 구하면 됩니다.</span></font></div> <div><span style="line-height:14.3999996185303px;"><font size="2"><br></font></span></div> <div><font size="2">　　P(A) = P(A∩E1) + P(A∩E2) + <span style="line-height:14.3999996185303px;">P(A∩E3)</span></font></div> <div><font size="2"><span style="line-height:14.3999996185303px;">　　　　</span><span style="line-height:14.3999996185303px;"> </span><span style="line-height:14.3999996185303px;">= P(A|E1) * P(E1) + P(A|E2) * P(E2) + P(A|E3) * P(E3)</span></font></div> <div><span style="line-height:14.3999996185303px;"><font size="2"><br></font></span></div> <div><font size="2">P(A|E1), P(E1)은 앞에서 계산했고, P(E2), P(E3)는 역시 1/3입니다. P(A|E2)의 경우 참가자가 문 1을 고르고 자동차가 문 2에 있다면 당연히 사회자는 문 3을 열어줘야 하므로 1입니다. P(A|E3)는 자동차가 문 3에 있는데(사건 E3) 사회자가 문 3을 열어주진(사건 A) 않으므로 0입니다. 따라서 계산하면</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">　　P(A) = 1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3 = 1/2</font></div> <div><font size="2">　　P(E1|A) = (1/2) × (1/3) ÷ (1/2) = 1/3</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">같은 방법으로 문 2로 선택을 바꿨을 때 자동차에 당첨될 확률은</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">　　P(E2|A) = P(A|E2) * P(E2) / P(A) <span style="line-height:1.5;">= 1 × (1/3) ÷ (1/2) = 2/3</span></font></div> <div><span style="line-height:1.5;"><font size="2"><br></font></span></div> <div><font size="2">그러므로 문을 바꾸는 쪽이 유리합니다.</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">이제 문제를 확장시켜 문이 3개가 아니라 n개라 해봅시다. 또한 <span style="line-height:1.5;">참가자가 문 1을 골랐고, 염소가 들어있는 문 n-k+1, n-k+2, …, n(총 k개)을 사회자가 보여주었다고 합시다. </span><span style="line-height:1.5;">참가자 입장에서 다른 문으로 바꾸는 것이 유리할까요, 바꾸지 않는 것이 유리할까요?</span></font></div> <div><span style="line-height:1.5;"><font size="2"><br></font></span></div> <div><span style="line-height:1.5;"><font size="2">일단 자동차가 문 1, 2, 3, …, n에 들어있는 사건을 각각 E1, E2, E3, …, En이라 하고, 사회자가 위에서 말한 문 k개를 여는 사건을 A라 합시다. 그러면 먼저 P(A)는</font></span></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">　　P(A) = <span style="line-height:14.3999996185303px;">P(A|E1) * P(E1) + P(A</span><span style="line-height:14.3999996185303px;">|E2) * P(E2) + P(A|E3) * P(E3) + </span><span style="line-height:14.3999996185303px;">… + </span><span style="line-height:14.3999996185303px;">P(A|En) * P(En)</span></font></div> <div><font size="2">　　　　= 1/n * 1/</font><font size="1">n-1</font><font size="2">C</font><font size="1">k</font><font size="2"> + 1/n * 1/</font><font size="1">n-2</font><font size="2">C</font><font size="1">k</font><font size="2"> * (n-k-1)</font></div> <div><span style="line-height:14.3999996185303px;"><font size="2">　　　　= (n-k-1)!k!/(n-1)!</font></span></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">문 1을 선택했을 때 자동차에 당첨될 확률은</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><span style="line-height:14.3999996185303px;"><font size="2">　　P(E1|A) = P(A|E1) * P(E1) / P(A)</font></span></div> <div><font size="2"><span style="line-height:14.3999996185303px;">　　　　　　= (</span><span style="line-height:14.3999996185303px;">1/</span></font><font size="1">n-1</font><span style="font-size:9pt;line-height:14.3999996185303px;">C</span><font size="1">k</font><font size="2">)<span style="line-height:14.3999996185303px;"> × (1/n) ÷ </span><span style="line-height:14.3999996185303px;">{</span><span style="line-height:14.3999996185303px;">(n-k-1)!k!/(n-1)!}</span></font></div> <div><span style="line-height:14.3999996185303px;"><font size="2">　　　　　　= 1/n</font></span></div> <div><span style="line-height:14.3999996185303px;"><font size="2"><br></font></span></div> <div><font size="2">다른 문을 선택했을 때 자동차에 당첨될 확률은 어차피 다 같을테니 문 2를 선택한 경우만 따지면</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2"><span style="line-height:15.6000003814697px;">　　P(E2|A) = P(A|E2) * P(E2) / P(A)</span></font></div> <div><span style="font-size:small;line-height:14.3999996185303px;">　　　　　　= </span><font size="2"><span style="line-height:14.3999996185303px;">(</span><span style="line-height:14.3999996185303px;">1/</span></font><font size="1">n-2</font><span style="font-size:9pt;line-height:14.3999996185303px;">C</span><font size="1">k</font><font size="2">) × (1/n) ÷ </font><span style="line-height:14.3999996185303px;font-size:small;">{</span><span style="line-height:14.3999996185303px;font-size:small;">(n-k-1)!k!/(n-1)!}</span></div> <div><span style="font-size:small;line-height:14.3999996185303px;">　　　　　　= (n-1)/{n(n-k-1)}</span></div> <div><span style="font-size:small;line-height:14.3999996185303px;"><br></span></div> <div><span style="font-size:small;line-height:14.3999996185303px;">따라서 이 경우에도 바꾸는 쪽이 더 유리합니다.</span></div>