<div>일단 어떤 수열이 '수렴'한다는 정의는 다음과 같습니다.</div> <div> </div> <div>1. 수열 a_n이 있을 때, a_n이 L이라는 값으로 수렴한다는 것은</div> <div>   <   임의의 양수 epsilon에 대하여 적당한 N이 존재해서, n>N이면 |a_n - L| < epsilon이다.   ></div> <div>   입니다. 다시말해, N이 충분히 커지면 L에서 적당한 반경 안에 값이 다 들어간다는 것이죠</div> <div> </div> <div>2. 함수 f(x)가 있을 때, x가 x_0로 갈 때 f(x)가 L이라는 값으로 수렴한다는 것은</div> <div>   <   임의의 양수 epsilon에 대하여 적당한 양수 delta가 존재해서, |x-x_0|<delta 이면 |f(x) - L| < epsilon이다. ></div> <div>   입니다. 다시말해, delta값이 충분히 작다면 L에서 적당한 반경 안에 값이 다 들어간다는 것이죠</div> <div> </div> <div>3. 수열 a_n의 급수가 L로 수렴한다는 것은</div> <div>   <  a_n의 1번째 항부터 m번째 항까지의 부분합을 S_m이라고 쓸 때, S_m이 L로 수렴한다  ></div> <div>   입니다. 수열의 극한을 다시 가져오죠.</div> <div> </div> <div>이러한 정의를 생각해보면 되는데요</div> <div> </div> <div>그럼 최근에 올라온 몇가지 논쟁점들을 짚어보겠습니다.</div> <div> </div> <div>1. 0.9999... = 1 ?</div> <div>   이에 대해서 제가 계속 달았던 댓글은 0.9999....는 '수'가 아니다 였습니다.</div> <div>   그렇게 말한 이유는 0.9999....가 '급수'의 다른 표현이라는 것이었는데요. a_n = 9*(0.1)^n 이라고 정의된 수열의 급수를 표현한 것이고, 이 값이 1로 '수렴'하기에 저기있는 '='가 성립하는 것이란 의미였습니다. 다시말해, lim S_n = L이라고 할 때 lim S_n의 본래 의미는 수열의 극한을 의미하는 것이고 '='라는 '수렴'의 의미를 통해 '수'가 되는 것이라 생각합니다. 뭐 이는 말의 차이이기 때문에 비슷하지만 다르게 이야기를 할 수 도 있겠지요.</div> <div>   하지만 처음 받아들일 때 0.9999....가 '수'라면 왜 1이라는 표현이 아니고 다른 표현을 가지는가 하는 의문이 생길수도 있고, 0.9999....는 점점 1에 가까워지는 것이지 아무리 생각해도 1보다 작은거 같은데..라는 생각을 할 수 도 있기 때문에 저렇게 표현을 한 것이었습니다.</div> <div> </div> <div>2. 1+1-1+... 등에 대해</div> <div>    제가 이에 대해서는 이미 글을 한 번 쓴적이 있습니다. (ref. <a target="_blank" href="http://todayhumor.com/?science_29568" target="_blank">http://todayhumor.com/?science_29568</a>)</div> <div>    여기서 주요 논쟁점이었던 부분은 '해석적 확장' 즉, analytic continuation이었는데요, 이 부분에 대해 다뤄보고 싶네요. 우선 정의를 끌어와 보겠습니다.</div> <div> </div> <div><a title="복소평면" href="http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B5%EC%86%8C%ED%8F%89%EB%A9%B4" target="_blank">복소평면</a> <b>C</b>에서 <i>f</i>가 <a title="열린 부분집합" class="mw-redirect" href="http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B4%EB%A6%B0_%EB%B6%80%EB%B6%84%EC%A7%91%ED%95%A9" target="_blank">열린 부분집합</a> <i>U</i>에서 정의된 <a title="정칙함수" href="http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%B9%99%ED%95%A8%EC%88%98" target="_blank">정칙함수</a>라 하자. 만약 <i>V</i>가 <b>C</b>에서의 <i>U</i>를 포함하는 더 큰 열린 부분집합이고, <i>F</i>가 <i>V</i>에서 정의된 <a title="정칙함수" href="http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%B9%99%ED%95%A8%EC%88%98" target="_blank">정칙함수</a>이며 다음을 만족하면,</div><dl><dd><img class="tex" alt="\displaystyle F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U " src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/7/937105ee78adce47f0895d35a542423e.png" /></dd></dl> <div><i>F</i>는 <i>f</i>에 대한 <b>해석적 연속</b>이라 한다. 다른 한편으로, <i>F</i>의 <i>U</i>로의 <b>제한</b>이 <i>f</i>가 된다.</div> <div>(ref. <a target="_blank" href="http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81_%EC%97%B0%EC%86%8D" target="_blank">http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81_%EC%97%B0%EC%86%8D</a>) </div> <div> </div> <div>즉 다시말해 analytic continuation을 통해서 얻은 값은 원래 함수의 값이라기보다는 새로운 함수의 값입니다. 예를 들어 보겠습니다.</div> <div> </div> <div>이전의 글에서도 들었던 예시이지만, 초항이 1이고 공비가 r인 무한등비급수의 값을 S(r)이라고 정의하겠습니다. 그러면 고등학교 수학에서도 배우지만, |r|<1일 때만 무한등비급수가 수렴하기에 값을 가지게 되고 이 때 함수값이 1/(1-r)이 되죠. </div> <div> </div> <div>그렇지만 여기서 얻은 값, 1/(1-r)은 r이 1이 아니기만 하면 잘 정의되는 함수입니다. 위의 정의로 되돌아가면 우리 S(r)이 f에 해당하고 1/(1-r)이 F에 해당하는 것이죠. </div> <div> </div> <div>analytic continuation은 새로이 얻어진 함수이기에, ' S(2)=1/(1-2)=-1 이다 ' 라는 말은 기본적으로 틀린 문장입니다. S(r)이 r=2에서 -1이라는 함수값을 가지는 것이 아니고, 'S(r)의 analytic continuation'이 r=2에서 -1이라는 함수값을 가지는 것입니다.</div> <div> </div> <div>그렇기 때문에 얼마전 과학게시판에서 흥미로운 영상이었던 <a target="_blank" href="http://todayhumor.com/?science_29517" target="_blank">http://todayhumor.com/?science_29517</a> 의 영상은 완전 허구라는 것이죠. 일단 기본적으로 '='기호를 써서 썼던 등식들이 다 문제가 있었을 뿐 아니라(수렴성에서), 그 뒤에 쓰였던 식간의 합과 차를 이용하는 부분에서도(ref. <a target="_blank" href="http://todayhumor.com/?science_29568" target="_blank">http://todayhumor.com/?science_29568</a>) 문제가 많았습니다.</div> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <div>이번에도 좀 횡설수설한것 같긴 한데 질문하거나 토론하실 사항 있으면 댓글달아주세요 환영입니다^^</div>