현재 수학과 대학원에 재학중인 학생으로써 글을 남겨 봅니다. <div><br /></div> <div>그 영상은 일반일을 놀려먹기 위해 만든 것으로 보입니다. 일단 오류를 몇가지 지적해 보도록 하죠.</div> <div><br /></div> <div>일단 제가 원서로 배워서 용어들의 한글 번역이 힘들다는 점 이해해주셨으면 합니다.</div> <div><br /></div> <div>어떤 주어진 수열의 합에 대해서, "수렴한다"라는 개념에는 여러가지가 있습니다. 이 개념을 일단 명확히 하도록 하죠.</div> <div><br /></div> <div>1. Absolute convergence</div> <div>  이는 말그대로 절대로 수렴하는 것입니다. 정의는 그 수열에 절대값을 씌웠을 때 수렴하는 가 입니다.</div> <div>  예를 들어, 1/(n^2)라는 수열은 수렴합니다. 양수이기 때문에 절대값을 씌워도 상관이 없죠.</div> <div>  이런 수열의 성질로는, 순서를 바꾸더라도 그 합이 변하지 않는다 입니다.</div> <div>2. Conditional convergence</div> <div>  이도 말그대로 조건적으로 수렴한다는 뜻입니다. 주어진 순서로는 수렴하지만, 순서를 바꿀 경우 아닐수도 있다는 것이죠.</div> <div>  예를 들어, (-1)^n(1/n)을 생각해 볼 수 있겠군요.</div> <div>  -1 1/2 -1/3 1/4 ... 입니다.</div> <div>  이 값은 분명히 수렵합니다. 하지만, 절대값을 씌울 경우 수렴하지 않죠.</div> <div>  이런 수열의 성질로는 순서를 바꿀 경우 수렴값을 마음대로 바꿀 수 있다는 것입니다. 이에 대해서는 궁금하시면 더 설명해드리도록 하겠습니다.</div> <div><br /></div> <div><br /></div> <div>위에 설명한 바와 같이 Absolutely converge하는 수열에 대해서만 순서를 바꿀 수 있습니다. 즉, conditionally converge하거나 converge하지 않는 수열은 순서를 바꿀 수 없다는 뜻입니다.</div> <div><br /></div> <div>그럼 이제 오류를 지적해보도록 하겠습니다.</div> <div><br /></div> <div>1. 처음 수열, S1의 합이 1/2이다?</div> <div>  영상에서도 말하고 있습니다. 홀수번째에서는 합이 1이고 짝수번째는 0이라고.<span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">  그러니까 합이 1/2이라고 말합니다. 이는 수학적인 증명이 아니죠.</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">  댓글에서 어떤분이 1-S1 = S1이기 때문에 S1이 1/2이라고 하십니다. 수열의 합에 대해서, 같다 혹은 다르다는 말을 하려면 수렴성이 일단 증명이 되어야 합니다. S1은 진동하는(수렴하는값이 없고, 값이 무한대도 아닌) 수열의 합이기 때문에 이런 말을 할 수가 없습니다.</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5"><br /></span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">2. S1, S2, S3의 합과 차를 이용한다?</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">  수열의 합과 차를 이용하는 과정이 여러번 등장합니다. 하지만 질문을 하나 해 보죠.</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">  무한개의 숫자의 열이 있습니다. 그 합은 무한대입니다. 그 값에 뭔가를 더하는 것이 가능할까요?</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">  무한대+무한대=무한대 이고 무한대+상수=무한대 입니다. 무한대-무한대는 정의되지 않습니다. 이는 수학논리에서 쓰이는 것이고, 일반적인 수학에서는 생각조차 하지 않는 경우이죠. 수열의 경우 무한대로 발산하는 수열끼리는 합과 차를 생각할 수 없습니다.</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5">  하지만 수열끼리 합과 차를 생각할 수 있는 경우가 있습니다. 위에서 정의한 Absolutely converge하는 경우 인데, 이 경우에는 순서를 바꿔도 상관없기에 합과 차를 생각할 수 있게 됩니다. 물론 Conditionally converge 하는 수열의 경우에도 생각할 수 있습니다만 주의해야 하죠. 두 경우 다  무한급수의 극한 수렴에 대한 정의에도 부합하게 됩니다.</span></div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5"><br /></span></div> <div>그럼 물리책이 잘못되었느냐?</div> <div><br /></div> <div>이에 대해서는 설명이 좀 필요할 듯 합니다.</div> <div><br /></div> <div>얼마 전에 Fermat의 마지막 정리라고 불리는 것이 풀렸습니다. 저명한 수학자 Andrew Wiles와 그의 제자 Richard Taylor가 풀었죠.</div> <div><br /></div> <div>그에 대해 필요했던 것이 있습니다. Analytic continuation이라는 것인데 다음과 같습니다.</div> <div><br /></div> <div>Riemann zeta 함수라고 들어보셨을 수도 있겠습니다. zeta(s) 은 1/n^s의 무한급수를 나타냅니다. 여기서 s는 모든 복소수 값을 가질 수 있구요. 이 함수는 s의 실수부분이 1보다 클 때만 수렴합니다. 하지만 이 함수를 복소적으로 analytic하게(매끄럽게) 확장시켜 모든 복소평면에 확장할 수 있지요. 이렇게 확장한 함수는 s의 실수부분이 1보다 클 때는 원래 정의대로 가지만, 실수부분이 1보다 작은 부분에서는 다르게 정의된다고 생각하시면 됩니다.</div> <div><br /></div> <div>여기서 예로 든 Riemann zeta 함수처럼 1-1+1-1+1.. 과 같은 영상에서 보여진 S1의 값이 1/2 라는 물리책의 서술은 continuation을 사용한 것이 아닐까 합니다. 혹은, 수학적인 접근이 아니고 양자역학적인 접근일 수 도 있겠구요. 이 부분은 제가 물리쪽에는 문외한이라 잘 모르겠군요.</div> <div><br /></div> <div>결론은, 제가보기에 이 영상은 그냥 사람들을 놀려먹기 위해 만들어진 것이 아닌가 합니다. 세 줄 요약해볼게요.</div> <div><br /></div> <div>1. 특정한 수렴조건을 만족시키는 수열만 순서를 바꿀 수 있다.</div> <div>2. 수렴하지 않는 수열의 합과 차는 생각할 수 없다.</div> <div>3. 물리책에서 서술된 S1의 값이 1/2라는 것은 그 수열 자체로 생각한 것이 아니거나, 수학적으로 접근한 것이 아니다.</div> <div><br /></div> <div>그럼 더 질문있으시거나 잘못된 부분 있으면 댓글달아주세요. 기다리겠습니다^^</div> <div><span style="font-size: 9pt; line-height: 1.5"><br /></span></div>