질문)
구슬이 13개 있어요.

그런데 이 구슬 중 1개는 나머지 구슬과 무게가 달라요.
무게는 무거운지 가벼운지 알 수 없어요.
이 13개의 구슬 중 무게가 다른 하나의 구슬을 찾아 내야 해요.
단,양쪽에 무게를 비교할 수 있는 접시를 단 저울을 3번 사용할 수 있어요.
(ex:저울의 양 쪽 접시에 6:7로 놓거나 6:6을 놓고 하나는 내려 놓는다.
또한 구슬을 올려 놓으면 기회를 1번 사용한 것이고,이 구슬에서 만약 하나를 뺀다면 또한번의 
기회사용.)
자,그럼 이 저울을 사용해 3번만에 무게가 다른 구슬을 찾는 방법은?


답변)
일단 13개의 구슬을 4,4,5개로 나눕니다.
그리고 4개와 4개로 나뉜 그룹을 저울에 답니다.

자 여기서 첫번째 선택지가 나옵니다.



1. 4개 = 4개 인 경우 (저울1번 사용)
즉, 8개는 정상적인 구슬이고 무게가 다른 구슬은 5개 그룹에 속해있습니다.

5개 그룹을 다시 3개인 A그룹, 2개인 B그룹으로 나누어 봅니다.
그 다음에 정상이라고 판단된 8개의 구슬 중에 3개를 선택하여 저울에
한 팔에 놓고, 반대팔엔 A그룹을 놓습니다. (저울 2번사용)

① 만약 정상적인 3개와 A그룹이 같다면 무게가 다른 구슬은 B그룹에 있습니다.
B그룹의 2개 중에서 1개를 정상적인 구슬 1개와 다시 저울에 답니다 (저울 3번사용)
만약 B그룹의 1개와 정상적인 구슬1개가 같은 무게라면, B그룹의 나머지 1개가 가짜 구슬이 됩니다. 만약 B그룹의 1개와 정상적인 구슬1개를 달아서 기울어진다면 저울에 단 B그룹의 구슬이 가짜가 됩니다. 그 가짜가 가벼운 구슬이면 정상적인 구슬쪽으로 팔이 기울어지고, 무거운 구슬이라면 가짜 구슬쪽으로 저울이 기울어지겠죠.

② 만약 정상적인 3개와 A그룹의 무게가 다르다면 A그룹에 가짜 구슬이 있다는 뜻입니다. A그룹이 정상적인 구슬3개보다 가벼우면, 무게가 가벼운 가짜 구슬이 있다는 뜻이고, 무겁다면 무게가 무거운 가짜 구슬이 있다는 뜻이겠죠.
따라서 구슬 3개의 A그룹에 무거운 가짜구슬이 있는지, 가벼운 가짜구슬이 아는 상태에서 저울을 사용할 기회가 1번더 있게 됩니다. (저울 3번사용)
그러면 1,1,1개씩 나눠서 달아서 1=1이면, 나머지 1개가 가짜인 것일테고 1>1 이면 가짜 구슬을 알 수 있죠.

즉, 4개=4개인 경우에는 3번만으로 모두 알 수 있습니다.




2.  4개 ≠ 4개인 경우 (저울 1번 사용)
이 경우는 8개 속에 무게가 다른 구슬이 들어있고,정상적인 구슬이 5개가 있습니다.

자 여기도 다시 그룹을 만들어봅시다.
무거운쪽으로 기울어진 4개 구슬을 2개씩 나누어 a그룹(2개), b그룹(2개)이라 부릅니다. 반대편의 4개의 구슬은 3개와 1개로 나누어 c그룹(3개), d그룹(1개)라 부릅니다.
a,b그룹의 구슬은 '무거운'가짜 구슬이거나 정상구슬입니다.
d,c그룹의 구슬은 '가벼운'가짜 구슬이거나 정상구슬입니다.
(반대로 그룹을 정해도 상관없습니다)

그 다음, a그룹과 c그룹을 저울의 한팔에 두고, 다른 한팔엔 정상적인 무게라고 판명된 5개의 구슬을 올려 놓습니다. (저울 2번 사용)

① a그룹(2개)+c그룹(3개) = 정상구슬 5개 라면
가짜 구슬은 b그룹(2개)과 d그룹(1개)을 합친 3개중에 존재한다는 뜻입니다.
다시 저울에 b그룹의 2개중에 1개와 d그룹의 1개를 합친 것과 정상구슬2개를 답니다 (저울 3번사용)
b그룹의 1개와 d그룹의 1개가 정상구슬 2개와 무게가 같다면, 남은 b그룹의 1개가 가짜 구슬입니다.
만약 무겁다면 무거운 가짜구슬의 가능성이 있는 b그룹의 1개 구슬이 가짜 구슬, 만약 가볍다면 가벼운 가짜구슬의 가능성이 있는 d그룹의 구슬이 가짜구슬이 되는 것입니다.

② a그룹(2개) + c그룹(3개) ≠ 정상구슬5개 라면,
가짜 구슬은 a그룹과 c그룹 중에서 있다는 뜻입니다.
만약 정상구슬 5개보다 무겁다면 무거운 가짜구슬의 가능성이 있는
a그룹에 무거운 가짜구슬이 있는 것입니다.
따라서 a그룹의 2개를 1개씩 달아서 (저울 3번 사용) 무거운쪽이 가짜구슬이겠죠.
만약 정상구슬 5개보다 가볍다면, 가벼운 가짜구슬의 가능성이 있는
c그룹에 가벼운 가짜구슬이 있는 것입니다.
따라서 c그룹의 3개를 1,1,1개로 나누어 양저울에 1개씩 달아 (저울 3번째)
가벼운 쪽으로 기울우는 것이 가벼운 가짜 구슬입니다.
또, 양쪽이 같다면 달지 않은 1개가 가벼운 가짜 구슬입니다.

즉, 4 ≠ 4인 경우에도 3번만에 다 구할 수 있습니다. 


그림을 그려가면서 풀면 쉬운데 말로 적으려니 상당히 힘드네요 ㅠㅠ
이해가지 않는 부분있으면 다시 물어보시고
밥 맛있게 얻어먹으세요!