보통의 무한 급수 수능 문제는 이런 풀이 때문인지 길이보다는 넒이로 나옵니다. <div><br></div> <div>제가 봤던 문제 중 무한 급수 문제인데 직관적으로 푸는 방법이 있었던 문제 몇가지를 소개합니다.</div> <div><br></div> <div>더 좋은 방법이라는 말은 아닙니다.</div> <div><br></div> <div>그냥 재미로 해보는 겁니다.</div> <div><br></div> <div>그림을 그릴 수 없어 말로 설명하는 점 양해바랍니다.</div> <div>죄송합니다.</div> <div><br></div> <div>1. 좌표 평면의 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원이 있다.</div> <div>1사분면의 사분원에 내접하는 원을 그린다.</div> <div>그 원의 중심을 O1 이라고 한다.</div> <div><br></div> <div>그 원을 다시 x 축과 y 축에 평행한 직선으로 중심을 지나게 사등분 한다.</div> <div>그 네개의 사분원 중 오른쪽 위에 있는 사분원에 내접하는 원을 그린다.</div> <div>그 원의 중심을 O2 라고 한다.</div> <div><br></div> <div><div>그 원을 다시 x 축과 y 축에 평행한 직선으로 중심을 지나게 사등분 한다.</div> <div>그 네개의 사분원 중 오른쪽 위에 있는 사분원에 내접하는 원을 그린다.</div> <div>그 원의 중심을 O3 라고 한다.</div></div> <div><br></div> <div><계속 무한하게 반복한다></div> <div><br></div> <div>이 때 원의 중심 On의 좌표를 (xn , yn)이라고 할 때</div> <div>n이 무한대로 갈 때 On의 좌표는?</div> <div><br></div> <div><풀이></div> <div>정상적인 풀이는 닮음으로 공비 구해서 구하면 되겠죠.</div> <div>직관적 풀이는 다음 세가지 사실에 기반 합니다.</div> <div>1) 내접원이므로 원의 중심은 처음 원의 밖으로 나가지 않는다.</div> <div>2) 계속 모든 원은 공통된 접점을 갖는다.</div> <div>3) 원의 반지름은 0으로 수렴한다.</div> <div>즉 원의중심과 공통 접점 간의 거리가 원의 반지름인데 그 거리가 0으로 수렴하면</div> <div>공통 접점으로 수렴한다는 거죠.</div> <div>그리고 원의 중심은 모두 y=x위의 점이구요.</div> <div>그래서 처음 원과 y=x 직선이 1사분면에서 만나는 점이 극한값이 됩니다.</div> <div><br></div> <div><이 문제는 넓이 문제임에도 직관적 풀이도 가능함></div> <div>2. 좌표 평면에서 원점 O에서 시작해서</div> <div>OA1의 길이는 6이며 A1은 O에서 x 축의 양의 방향에 있음</div> <div>A1B1의 길이는 6 × (2/3) [3분의2입니다.] 이며 B1은 y축의 양의 방향에 있음</div> <div>B1A2의 길이는 6 <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">× (2/3)</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">× (2/3)</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">이며 A2은 B1에서 x 축의 양의 방향에 있음</span></div> <div>A2B2의 길이는 6 × (2/3) <span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">× (2/3)</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> </span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;">× (2/3)</span><span style="font-size:9pt;line-height:1.5;"> 이며 B1은 y축의 양의 방향에 있음</span></div> <div><이런 식으로 계단식으로 무한 반복></div> <div>이 때</div> <div>직각삼각형 </div> <div>OA1B1의 넒이를 S1</div> <div>A1B1A2의 넒이를 S2</div> <div>B1A2B2의 넒이를 S3</div> <div>A2B2A3의 넒이를 S4</div> <div><이런식으로 계속></div> <div>이 때 Sn의 넓이의 총합은?</div> <div><br></div> <div><풀이></div> <div>당연히 정상적인 풀이는 S1구해서 닮음으로 공비 구하고 풀겠죠.</div> <div>직관적 풀이는</div> <div>그림으로 그려보면</div> <div>O에서 출발해 Bn이 모두 한직선 위의 점들이고</div> <div>An이 모두 한직선 위의 점들임을 알 수 있으며</div> <div>두 직선의 교점으로 수렴해감을 알 수 있습니다.</div> <div>결론은 그 교점을 N이라고 하면</div> <div>삼각형 OA1N의 넓이를 구하면 답이 나온다는 겁니다.</div> <div><br></div> <div><경고></div> <div>위의 내용은 수능 공부에는 큰 도움이 되지 않을 수 있습니다.</div> <div>그냥 잠이 오지 않을 때 수면을 촉진하는 용도로 사용하시기 바랍니다.</div>
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