1. 무한합이라는 개념과 유한합의 극한값이라는 개념은 어찌보면 서로 다른 개념인것처럼 느껴질 수 있습니다. 이 두가지 개념을 이어주는게 입델 논법이에요. 무한이라는 난감한 개념을 유한의 범위 내에서 논리적으로 해결하는 것이지요. 여하간 이런 입델논법에 따라 0.999999...=1임을 보일수가 있어요. 하지만 사람들이 여전히 0.999999...<1인것 처럼 느끼는 것은 유한합에서의 개념을 무한합으로 끌고와서 혼동을 일으키기 때문이라고 생각합니다. 그렇다면 이를 이해 못하는 학생들에게 0.99999...를 단순히 극한값을 통해 설명할 것이 아니라, 가상의 무한합이라는 개념을 만들어 정말로 0.9999...=1임을 입델 없이 보여야 하겠죠. 물론 이러한 방법은 전혀 수학적이지도 논리적이지도 않습니다.  <div><br /> <div>2. 그러면 이제 0.9999...는 급수라서 수가 아니다! 라는 의견에 대해 얘기를 해볼게요.</div></div> <div>1=1+sigma(k=1 to inf)0*(0.1)^k입니다. 1이라는 수 또한 급수 형태로 나타나는 수에요. </div> <div>모든 수는 소숫점 아래 0이 생략되었을뿐, 급수의 형태라고 볼 수 있어요.</div> <div>급수이기때문에 수가 아니다~ 라는 말은 이러한 모순성을 지닙니다.</div> <div><br /></div> <div>다만 0.99999...와의 차이는 1의 경우 처음부터 수가 고정되어있다~ 라는 생각이신것 같아요. </div> <div>하지만 사실은 양쪽다 compactness theorem에 의해 처음부터 하나의 값으로 수렴되는 형태에요.</div> <div>예컨대, 0.99는 하나의 수렴값이지요? 0.9에 도달하는데까지 걸리는 시간보다 0.99라는 수렴값에 도달하는 시간이 더 오래 걸리는지요?</div> <div>소숫점 아래 숫자가 많아질수록 수렴하는데 시간이 더 오래걸려서 서서히 다가가는건가요?</div> <div>아니에요. 유한소수일때에 대해서는 처음부터 수렴한다는 사실에 동의하실거에요. </div> <div>마찬가지로, 무한소수일때도 처음부터 수렴하는 것이지, 원래는 1이 아니다가 극한값을 취하면 그제야 1이 되는 개념이 아니라는 거에요.</div> <div><br /></div> <div>3. 예전에 학생들이 숨마쿰라우데라는 책을 들고 와서 질문을 한 적이 있었습니다. 고등학교 책인데 무슨 초실수계를 언급해놨더라구요 (...) 뭐 초실수계를 대충 설명하면, 임의의 양의 실수보다 작고 0보다 큰 초실수가 존재한다~라는것에서 시작하는 건데요... 사실 저도 잘 몰라요.-_-;;</div> <div>무튼 우리가 알고있는 실수계에는 초실수라는 수가 없습니다. 0.9999....<1이라고 했을때 양변에 0.9999...를 빼면 0<0.00000...이 되는데, 임의의 양의 실수보다 작고 0보다 큰 0.00000........1? 이라는 숫자는 실수계에 없습니다. 그래서 모순이에요. (사실 이 아이디어가 입델의 핵심 아이디어입니다)</div> <div><br /></div> <div>4. 무튼 대충 0.9999...문제를 정리해보면,</div> <div>어차피 입델논법을 얘기해도 일반인들은 초실수계라는걸 떠올리고 있거나, 무한합과 유한합을 혼동해서 이해를 못한다. </div> <div>그래서 무한합이라는 논리적이지도 않은 가상의 형태로 0.99999...=1임을 보여줘야 그제서야 납득한다. 정도가 될것 같네요.</div>