<div style="text-align:left;">제가 직전에 작성했던 게시물 (<a target="_blank" href="http://todayhumor.com/?science_50877" target="_blank">http://todayhumor.com/?science_50877</a>)에</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"><strong>"푸리에 시리즈 애니메이션도 가능한가요? 가령 이런 것 </strong>(<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/embed/LznjC4Lo7lE" target="_blank"><font color="#0000ff">https://www.youtube.com/embed/LznjC4Lo7lE</font></a>)<strong>"</strong></div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">이라는 댓글이 달리고, 도전 과제(?)로 인식하여 새벽에 고민하며 작도해 본 결과 다행히도 성공하였기에 그 결과물을 업로드하려다</div> <div style="text-align:left;">어찌저찌하여 새로 게시물을 작성하게 되었습니다. 그러나 수학 비전공자이기에 '아는 것'이 없어서 채워 넣을 내용이 참으로 부족한 점</div> <div style="text-align:left;">죄송하게 생각합니다. 푸리에 급수에 대하여 찾아본 자료 중 두 곳을 출처란에 링크시켰고요. 그림 몇 개 따왔습니다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">우선은 제가 만든 작품? (<a target="_blank" href="https://youtu.be/R5SLHTSz1Uc" target="_blank">https://youtu.be/R5SLHTSz1Uc</a>) 들을 올려보도록 하겠습니다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img width="800" height="246" class="chimg_photo" alt="[★] Fourier Series Animation using Circles 0 (축소).gif" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567759UEUdhsj9nLC9TyNDd4f2k.gif"></div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"><img width="668" height="300" alt="[★] Fourier Series Animation using Circles 1 (축소).gif" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567762G5k3hvuLX9zeDQbYGiTfFv5ZIMxTY.gif"></div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">만드느라 고생 좀 했네요;; 만들어내기 전에는 정말 어려웠는데, 성공하고나니 쉬운 작업이었군요;; 단지 컴퓨터가 구닥다리인데다가 꽤나 높은</div> <div style="text-align:left;">해상도에 미칠듯한 frame rate 및 제법 긴 재생시간이 맞물려서 그런지 '움짤' 제작 중 메모리 부족으로 컴퓨터가 몇 번이나 먹통이 되고</div> <div style="text-align:left;">(욕심만 앞섰나 봅니다;;) 어찌저찌 해서 간신히 만들어내게 되었네요. (그런데 기껏 만들고나니 5MB 이상은 안올라가서 축소시켰다는… ;;)</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">많은 분들 보시라고 올릴거라 색깔 예쁘게 넣느라…, 원들이 돌아가는 속도는 어느정도가 좋을까…, 뚝뚝 안끊겨보이고 매끄럽게 움직이게 하려면</div> <div style="text-align:left;">frame rate 를 얼마나 줘야할까… 등등으로 이리 바꿨다 저리바꿨다 하고 제작 중에 컴퓨터가 몇 번 먹통되고보니 금방 날이 새더군요. ㅋㅋ</div> <div style="text-align:left;">조만간 비디오 카드 업그레이드하고 램 증설해야 할 듯 싶네요. 뭐~ 그냥 개인적인 푸념 한 번 써봤습니다.</div></div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">--------------- (이하의 내용은 퍼온 그림 및 기초 지식이 없다시피 한 저의 얄팍한 소견입니다.) ---------------------</div> <div style="text-align:left;">----------------------------- (전공자 분들의 댓글을 통한 내용 보강을 기대합니다.) ------------------------------</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">다양한 주기 및 진폭의 삼각함수들만 가지고 합성하여 만들어지는 <strong>삼각파</strong>(?)의 그래프입니다.</div> <div style="text-align:left;">50항 정도를 합성하니 거의 톱니모양과 다를 바 없는 형상을 갖추게 되네요.</div> <div style="text-align:left;"><img width="491" height="126" alt="112.gif" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433568008gU1ATZloFR8q4x7FfLD6aHEqThwUs5.gif"></div> <div style="text-align:left;"><img width="500" height="250" alt="111.gif" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433568008uOKZHN3H5xR.gif"></div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">아래의 푸리에 급수 전개로 표현된 함수식이 본 게시물의 두 번째 줄에 언급했던 도전과제인 <strong>사각파</strong>(?) 입니다.</div> <div style="text-align:left;"><img width="800" height="451" class="chimg_photo" alt="[★] Fourier Series Animation using Circles.png" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433571871nI1pxoFdQfaqVeQoFreTMAO.png"></div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">도전 과제에 등장한 급수전개는 m = 1,2,3,4 까지 적용된 근사식이고요. 제가 움짤로 만들어낸 네 원의 움직임은 4항까지 전개한</div> <div style="text-align:left;">사각파의 파형이 그려지는 모습을 기하학적으로 분해하여 드러낸 것입니다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"><img width="279" height="51" alt="1.png" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567141qpKiQqkGA2PMvF.png">         (m에 1,2,3,4를 대입하면 도전 과제의 함수가 나옵니다.)</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">제가 학교다닐적 '푸리에 급수전개를 배우긴 배웠나? 왜이리 기억이 안나는거지?' 할 정도로 기반 지식이 희미해졌는데요. 만약 그 당시에</div> <div style="text-align:left;">저러한 <strong>네 원의 조화로운 움직임</strong>을 <strong>접할 기회가 있었더라면</strong>, 아마도 강렬한 지적 충격(?)을 받아 뇌리에 각인이 되어 지금껏 잊지않고</div> <div style="text-align:left;">잘 기억하고 있지 않았을까? 하는 아쉬움이 남습니다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">저만 그런지는 모르겠으나 솔직히 바로 위의 시그마로 시작하는 (게다가 무한합;;) 저 딱딱한 식만 보고 곧바로 호기심이 동할 사람이 얼마나</div> <div style="text-align:left;">있을까요? 저는 오늘 새벽에 <strong>네 원의 현란한 춤</strong>을 보고 <strong>'헐~ ㅅㅂ 저게 이런 거였어? 여태껏 모르고 있었네!'</strong> 라고 생각했으니까요;;</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">아무튼 아래의 그림들은 m 값을 늘려가며 sin함수를 첨가함에따라 스무스한 곡선이 점점 직각만으로 연결되는 선분들의 모습으로</div> <div style="text-align:left;">변해가는 모습을 잘 보여주고있네요. 이런 것을 생각해내다니 수학자란 사람들은 참으로 대단한 존재입니다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"><strong><img width="466" height="176" alt="11.jpg" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567149mHG6TXLrLM6xFD6dHta1KvZYzB5VJ.jpg"></strong></div> <div style="text-align:left;"><strong></strong> </div> <div style="text-align:left;"><strong><img width="473" height="172" alt="12.jpg" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/14335671492MJ6GtSiPjkTmA5KpP11lBF4qYblBcFb.jpg"></strong></div> <div style="text-align:left;"><strong></strong> </div> <div style="text-align:left;"><strong><img width="499" height="184" alt="13.jpg" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567149uRLedVjg65qclp.jpg"></strong></div> <div style="text-align:left;"><strong></strong> </div> <div style="text-align:left;"><strong><img width="632" height="188" alt="14.jpg" src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201506/1433567149kbtcFYwSdWUZ.jpg"></strong></div> <div style="text-align:left;"><strong></strong> </div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;">그리기도 힘든 '삼각함수'를 '무한 번' 그린 후 '합치기(합성)'까지 해서 '자 대고 찍 그으면 끝'인 '그리기 엄청 쉬운 직선(선분)'을 만들어내려고</div> <div style="text-align:left;">하다니… 대체 왜 이런 얼빠진(?) 짓을 하는 것일까요? 마치 빌딩을 짓는데 옥상부터 짓기 시작해서 1층 혹은 지하주차장을 만들며 끝내는 느낌?</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">그런데 더 어이없는 것은 이게 써먹을 곳이 알게모르게 많다는 점입니다. (<strong>사실 제가 잘 몰라서요;; 전공자 분들이 나서실 때가…</strong>)</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">위 그림을 보게된 곳에 소개된 설명은 다음과 같았습니다.</div></div> <div style="text-align:left;"><strong></strong> </div> <div style="text-align:left;"><strong>푸리에 급수(Fourier Series)</strong>는 일정 부분이 반복되는 주기함수를 삼각함수의 합으로 표현하는 무한 급수이다. 푸리에 급수는 상미분방정식과 편미분방정식을 푸는데 중요한 도구가 될 수 있다. 푸리에 급수는 테일러 급수Taylor series보다도 활용범위가 넓다. 그 이유는 푸리에 급수는 불연속적인 주기함수를 표현할 수 있지만, 테일러급수는 표현할 수 없기 때문이다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">읽어봐도 잘 모르겠는데요. 아무튼 그렇다고 합니다. 다시 본론(?)으로 돌아가서 제가 아는 것 쬐금만 쓰고 마무리하자면요.</div> <div style="text-align:left;">전기공학 및 전자공학에서 이 푸리에 급수가 아주 유용한 도구가 된다고 보았던 기억이 납니다. 현재 우리가 쓰고있는 전기의 송전방식은</div> <div style="text-align:left;">에디슨이 제안한 직류가 아니라 테슬라의 제안을 따른 교류입니다. 송전 중의 전력 손실 및 도선 근처의 자기장 발생 문제 등에서</div> <div style="text-align:left;">교류 쪽이 여러모로 유리하기에 그런 선택을 했나봅니다.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">그런데 직류는 전기의 흐름이 말 그대로 직류라 일정하게 꾸준히 쭈욱~ 흐르니까 전기모터 등 컨트롤하기가 편할 겁니다.</div> <div style="text-align:left;">그런데 교류는 송전선을 통해 전기를 쭉 밀어보내는 것이 아니라 앞으로 밀었다 뒤로 땡겼다 왔다갔다하는 일종의 진동(?)을 이용합니다.</div> <div style="text-align:left;">벽의 콘센트에 220V 라고 써있는데요. 이게 +220V 였다가 -220V 였다가 하면서 교대로 오락가락 하는 것이지요. (초당 60번 반복)</div> <div style="text-align:left;">그러니 전기 혹은 전자제품 입장에서는 전압이 올라갔다가 내려갔다가 널뛰기를 하는 셈이고 출력이 오르락 내리락 하게 될 수밖에 없습니다.</div> <div style="text-align:left;">형광등이 껌뻑껌뻑거려보이는 이유가 이런 것이지요. (인간의 눈으로 감지하기 힘든 영역이라는데요. 캠코더같은 것으로 형광등을 촬영하면</div> <div style="text-align:left;">frame rate 가 정확히 동기화되지 않는 이상 껌뻑임이 찍히게 될 것입니다.)</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">게다가 220V라는 것은 '실효전압'이라고해서 전압이 sin 곡선을 그리니까 '0V에서 최대치 311V까지 올랐다가 다시 0V'까지 떨어지는 동안의</div> <div style="text-align:left;">평균전압을 의미합니다. 그러니까 만약 감전된다면 순간적으로는 311V까지 두들겨(?)맞는 셈이 되는 것이지요.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;">아무튼 이처럼 전압이 오르락내리락하기 때문에 불편한 점이 있는데요. 이런 sin파 모양을 띄는 전류의 흐름을 푸리에 급수 전개에 따른</div> <div style="text-align:left;">식을 토대로 열심히(?) 섞어주기만하면 노력하면 노력한만큼(얼마나 많은 항을 사용하여 근사했는냐에 따라…) 직류에 가까운 전류의 흐름을</div> <div style="text-align:left;">얻어낼 수 있다는 장점이 있고, 이를 실제로 우리 주변에서 알게 모르게 잘 사용하고있다는 사실을 말씀드리고 싶네요.</div> <div style="text-align:left;"> </div> <div style="text-align:left;"> </div> <div> </div> <div> </div> <div>※ 이제 게시물의 마무리를 지을 차례인 듯 합니다. 아는 것도 없는데 그나마 아는 듯 모르는 듯 한 내용을 쓰느라 고생아닌 고생을 했지만</div> <div>    분명 <strong>제대로 모르고 지껄인(?) 헛소리가 있을 가능성</strong>이 충분히 높다고 봅니다. 그러니 본 게시물을 읽어주신 분들 중 <strong>부족하여 보충</strong></div> <div><strong>   해야할</strong><strong> 내용</strong>이 있거나 <strong>잘못 되어 수정 혹은 삭제해야할 내용</strong>이 있다면 지체없이 알려주셨으면 감사하겠습니다.</div> <div>    또한, 저 역시 <strong>한 수 배울 수 있게끔</strong><strong> 첨가하고 싶은 내용</strong>이 있어 댓글에 달아주신다면 정말 기쁘겠습니다. '눈요기'꺼리일 뿐 내용도</div> <div>    없는 글을 끝까지 읽어주셔서 감사합니다.</div>