<p>-콜라츠 추측-</p><p><br></p><p>이제껏 많은 수학자들을 괴롭혔던 수학 난제들은 도저히 못풀것만 같은 복잡한 문제들도 많지만, 너무나 단순해서 금방 풀릴것 같은 문제들도 있습니다. 1994년 프린스턴 대학교 앤드류 와일즈 교수가 증명한 "페르마의 마지막정리" 가 그러한 예중에 하나 입니다. 오늘 소개할 콜라츠 추측 또한 매우 간단한 형태이며 현재까지 풀리지 않고 있는 문제 입니다.</p><p><br></p><p>콜라츠 추측은 1937년 독일의 젊은 수학자 로타르 콜라츠가 제시한 문제로 다음과 같습니다.</p><p>1) 임의의 자연수를 하나 고른다.</p><p>2) 홀수라면 3을 곱한뒤 1을 더하고, 짝수라면 2로 나눈다.</p><p>3) 2)를 반복한다.</p><p>그랬을때 결과값이 항상 1이 나오는가? 가 콜라츠가 제시한 질문입니다.</p><p><br></p><p>예를들어보면</p><p>3->10->5->16->8->4->2->1</p><p>7->22->11->34->17->52->26->13->40->20->10->5->16->8->4->2->1.</p><p><br></p><p>과정을 보면 크게 증가하다 특정구간(2^n의 배수)에서 붕괴하는 것을 반복하며 숫자가 떨어지는데 우박이 생성되는과정과 비슷하다 하여 우박수라고도 불립니다.</p><p><br></p><p>우박수중에는 한없이 증가할것만 같은 수들도 있는데 27이 그러합니다.</p><p><br></p><p>27은 77단계에서 9232까지 올라가다가 급격하게 붕괴되어 111번째 단계에서 1이 됩니다.</p><p><br></p><p><br></p><p>아래 그림은 우박수들이 1로 붕괴되는 과정을 나타냅니다.</p><p><br></p><p><img src="webkit-fake-url://96D3C35E-3B0B-44AC-B0BC-2B564EE4CBA2/imagejpeg"></p><p><a target="_blank" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Collatz-graph-20-iterations.svg">http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Collatz-graph-20-iterations.svg</a></p><p><br></p><p>콜라츠 추측은 제가 증명하고자 조금 건드려봤던 문제이기도 합니다만 어려워서 포기했습니다ㅎㅎ</p><p><br></p><p>다음은 제가 증명한 내용인데(솔직히 별거 없습니다^^;) 논문찾아보니 이미 나와있는 내용이라 성질 몇개만 소개합니다. 증명은 따로 하지 않겠습니다.</p><p><br></p><p>1) 자연수 n 의 콜라츠 과정에 나온 숫자들의 집합을 C(n)이라 하자. m이 C(n)의 원소일때 m* 2^k 은 콜라츠 과정을 거쳐 1로 붕괴한다.</p><p>2) n이 콜라츠 과정을 거쳐 1로 붕괴되다면 콜라츠 과정중 같은 숫자가 반복되지 않는다.</p><p><br></p><p>전 위의 두 사실을 이용하여 콜라츠과정의 역과정으로 1로부터 모든 자연수를 만들어낼 수 있다는 논리로 증명해보려했는데 안됬습니다ㅋㅋㅋ</p><p><br></p><p><br></p><p>여튼 콜라츠 추측은 컴퓨터로 현재까지 19*2^58정도까지는 참임을 밝혔지만 그이후에 반례가 나올지는 모르는 일입니다.</p><p><br></p><p>그래서 나온게 발견술적 접근인데 홀수일때 증감정도와 짝수일때 증감정도를 확률적으로 따졌을때 평균적으로 3/4로 줄어들어 결국 1이 된다는 것 입니다.</p><p>하지만 콜라츠 과정에서 나오는 수들이 고른 분포를 보여줄수 있는지에 대한 의문이 남으므로 완전히 설명해 주지는 못합니다.</p><p><br></p><p>콜라츠 추측은 아직 밝혀지지않은 수학적 구조로 이루어 졌을지도 모릅니다. 관심있으신 분들은 도전해 보세요ㅎㅎ</p><p><br></p><p><br></p><p>[reference]</p><p>네이버캐스트 - 우박수</p><p><br></p><p>[한줄요약: 아직 증명안된 문제입니다. 도전해보세요!]</p>