<p></p><p style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.296875); -webkit-composition-fill-color: rgba(175, 192, 227, 0.230469); -webkit-composition-frame-color: rgba(77, 128, 180, 0.230469); "><span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); ">- 1+1=2 -<br><br>"일 더하기 일 은" 무엇일까요?<br><br>고전적인걸 좋아하시는 분들은 창문이라 할수도 있고 창의력돋는 분들은 ASKY라 하실수도 있지만 대부분은 2라고 하실겁니다.<br><br>그렇다면 1+1은 왜 2일까요?<br><br>이에 대한 증명은 영국의 위대한 철학자 화이트헤드와 그의 뛰어난 제자 러셀(러셀의 역리의 그 러셀 맞습니다)이 공동저작한 대작 <수학원리(Principia Mathematica)> 에서 다루고 있습니다.<br><br>이들은 1900년 7월 파리에서 열린 제 1회 국제철학회의에서 수학자인 페아노(G.Peano)가 산술의 기초를 명확히 하기위해 기호논리(현재 사용하는 집합기호 ⊂,∈는 페아노가 사용한 기호에서 유래합니다)를 사용하는 엄밀성에 깊은인상을 받고 이를 확장시켰습니다.<br><br>자연수집합 N을 규정하는 페아노 공리는 다음과 같습니다.<br><br><br>[Peano axioms]<br><br>PA0-1. 임의의 자연수 x에 대하여 x=x.(reflexive)<br>PA0-2. 임의의 자연수 x,y에 대하여 x=y 이면 y=x. (symmetric)<br>PA0-3. 임의의 자연수 x,y,z에 대하여 x=y이고 y=z이면 x=z. (transitive)<br>PA0-4. 임의의 a, b에 대해, a가 자연수이고 a=b라면 b또한 자연수이다. (closure under equality)<br><br>PA1. 0은 자연수이다.<br>PA2. 임의의 자연수 n에 대해 S(n)은 자연수이다.<br>PA3. 임의의 자연수 n에 대해 S(n)≠0.<br>PA4. 임의의 자연수 m과 n에 대해, S(m)=S(n)이면 m=n.(S is an injective func. (funct!on</span>이 필터링에 걸리는거 처음 알았네요;;) )<span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); "><br>PA5. (귀납법의 공리)<br>어떤집합 A가 0을 포함하고, 임의의 자연수 n과 그에 대응하는 S(n)을 포함하면 A는 모든 자연수를 포함한다.<br><br>페아노 공리계에서 PA0-1~4는 동일관계를 규정합니다.<br><br>PA1. 에서 0을 자연수로 놓은 이유는 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문에 편의성을 위하여 현대의 페아노 공리를 서술할때 대체로 첫자연수를 0으로 선택합니다. 1로 시작하여도 별상관없으며 페아노도 첫 자연수를 1로 두었습니다.<br><br>함수 S:N->N 는 따름수함수 로서 자연수를 1진법으로 규정합니다. 즉, 1=S(0), 2=S(S(0))=S(1), ... , n=S^n(0)=S(n-1) 로 표현됩니다.<br><br>집합으로 표현하면 S(n)=n ∪ {n} 으로 다음과 같습니다. <br>0={} (the empty set)<br>1={ {} }={0}<br>2={ {} , {{}} }={0,1}<br>3={ {} , {{}} , {{},{{}}} }={0,1,2}<br>...<br><br>PA3, PA4는 자연수가 무한히 많음을 보장해주며, PA5는 자연수전체에 대한 순차적 논증을 할 수있게 해줍니다.<br><br><br>이제 자연수집합을 만들었으니 자연수의 덧셈에 대해 알아보겠습니다.<br><br>이항연산 +는 다음조건을 만족하는 함수입니다.<br>+: N×N -> N<br>1) a+0=a for all a∈N<br>2) a+(S(b))=S(a+b) for all a,b∈N<br><br>이제 1+1=2를 증명해보겠습니다.<br><br><br><br>Theorem. 1+1=2<br><br>proof.<br>1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2. /Q.E.D.<br><br><br><br>화이트헤드와 러셀이 보이고자 한 것은 공리계가 주어지면 그로부터 알고있는 수학지식이 논리적으로 유도 가능하다는 일반적인 원리 입니다. 러셀은 나아가 1920년대 형식주의, 직관주의와 함께 수학기초론의 대표적 견해중 하나인 논리주의를 주장합니다.<br><br>하지만 러셀을 비롯한 논리학자들이 "수학적 명제의 참과 거짓을 판별할 수 있는 절대적인 지침이 있다" 즉, "참인 모든 명제는 증명가능하다"라는 믿음과 달리 괴델이 참이지만 증명 불가능한 식을 제시하여 그렇지 않음을 보였습니다.<br><br>괴델은 산술을 형식화한 형식체계에서 그 체계가 무모순적인 한, 참이지만 증명할 수 없는 문장(논리식)이 존재한다고 하였는데, 이것이 괴델의 제1불완전성정리입니다. 그리고 제1불완전성정리를 만족시키는 어떠한 형식체계도 그 체계가 무모순적인 한, 그 체계 안에서 주어진 공리와 규칙들만으로는 그 일관성을 증명할 수 없다는 것이 제2불완전성정리입니다.<br><br>이는 수학기초론을 무너뜨린것이 아니라 공리를 확장시키며 수학을 발전 시켜야 함을 시사합니다.<br><br><br>[reference]<br>-위키피디아<br>-네이버 지식백과<br>-www.mjlee.pe.kr/xe/board/223<br><br></span></p><p style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.296875); -webkit-composition-fill-color: rgba(175, 192, 227, 0.230469); -webkit-composition-frame-color: rgba(77, 128, 180, 0.230469); "><span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); "><br>[한줄요약: 1+1=2입니다. 안심하셔도 돼요!]</span></p><p></p>