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2015-03-18 20:19:08
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프로 질문러신가봐요 질문이 너무 완벽해서 답을 안 하고 갈 수가 없네요
alternating series의 값은 첫 항보다 작아요. 계속 작아지는 걸 빼고 더하고 빼고 더하고 하니까요. 1 - 0.1 + 0.01 - 0.001 + 0.0001 ... 같은 걸 생각해보시면 도움이 될지 모르겠네요. 위키피디아 http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series 의 alternating series test 부분에 아이디어가 나와 있고 바로 밑의 approximating sums 에 근사치 구하는 법이 나와 있긴 한데 원하시는 것만 딱 나와 있는 웹페이지는 좀 찾기가 어렵네요.
쓰신 급수 x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! ... 를 보면 근사치를 구해야 하는 범위 0<x<1 에서는 항들이 계속 작아지죠. 그래서 첫 항 빼고 두개씩 묶어서 생각하면
x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! ... = x - (x^3 /3! - x^5 / 5!) - (x^7/7! - x^9 / 9!) - ...
에서 x^3 / 3! - x^5 / 5! 와 x^7 / 7! - x^9 / 9! 등등 뒤에 모든 게 전부 0 보다 크니까 전체 값은 x보다 작을 거예요. 0보다 큰 걸 계속 빼는 거니까요.
한 번 더 가서 x무시하고 x^3 / 3! 부터 생각하면 (부호는 바꾸고)
x^3 / 3! - (x^5 / 5! - x^7 / 7!) - (x^9 / 9! - x^11 / 11!) - ... 이 되는데 역시 x^3 / 3! 에서 0보다 큰 걸 계속 빼니까 이것도 x^3 / 3!보다 작아요.
무슨 얘기냐면 원래 급수 x - x^3 / 3! + x^5 / 5! 를 x - [ x^3 / 3! - x^5 / 5! + x^7 / 7! - ... ] 로 봤을 때 x에서 x^3 / 3!보다 작은 걸 뺀 게 되는 거죠. 즉
sin x = x - ... 의 근사치를 x로 잡으면 오차로 나오는 x^3 / 3! - x^5 / 5! + x^7 / 7! ... 은 x^3/3!보다 작아요. 0 < x < 1/2 사이에서 최대 오차는 그러면 x=1/2를 x^3 / 3!에 대입해서 나오는 1/48 = 0.02083333... 보다 작겠네요. 0<x<0.1 사이에서 최대오차가 0.0002보다 작은지도 한 번 확인해보세요.
여기까지가 쓰신 문제가 될 거고 좀 더 가서 sin x 의 근사를 x - x^3 / 3! 으로 잡으면 오차인 x^5 / 5! - x^7 / 7! + ... 은 x^5 / 5!보다 작으니까 이 경우에 0 < x < 1/2에서 최대 오차는 x=1/2를 x^5 / 5!에 대입한 1/(120 * 32) = 0.00026... 보다 작겠네요.