A. 자연수는 다음과 같이 정의될 수 있다
1. 집합 N에서 임의의 원소 n을 정의할 수 있다.
2. 임의의 원소 n은 따름수 n'을 가지며, n'도 N의 원소이다.
3. n을 따름수로 갖는 원소는 N에 존재하지 않는다.
4. N의 두 원소가 같은 따름수를 갖는다면 두 원소는 같다. / 특정 따름수를 가지는 원소는 유일하다.
5. 임의의 부분집합 S가 n을 원소로 가지며, 그 따름수도 원소로 가질 경우 S=N이다.
이제 서술의 편의를 위해 임의의 원소 n을 0의 문자와 동치시키고, 0의 따름수인 n'을 1로, 1의 따름수인 1'을 2로 동치시킨다.
또한 따름수와 '다음 수'를 같은 의미로 혼용하기로 한다.
위 정의에서 알 수 있는 것은 0의 따름수인 1를 정의하는 것은 0이라는 것이다.
이러한 사실에서 다음과 같이 정리할 수 있다.
1. 0에서 1로 정의되고, 1에서 2로 정의되는 벡터값이 존재한다.
2. 자연수를 정의하는 벡터값의 반대방향 벡터 또한 정의할 수 있으며 이를 음수라 한다.
기존의 수학 체계는 '모든' 자연수의 원소가 이미 정의되어 있는 것으로 간주하고, 무한대는 이렇게 정의되어 있는 원소의 한 쪽 극단을 계속해서 나아가는 도중으로 표현하거나 모든 자연수보다 큰 '상태'로 설명하는데, 스핀정리에서는 이것을 아래와 같이 정리한다.
3. 집합 N에서 오직 정의된 원소만이 자명하다.
4. 집합 N의 자명하지 않은 부분은 동일하다. (구분 가능한 차이점이 정의되지 않았으니까)
즉, 집합 N에서 0에서 5까지를 정의했다면 N의 원소는 자명한 0~5의 부분과 그 외 자명하지 않은 모든 부분으로 구분된다.
그리고 5는 다음 수를 정의할 때 오직 '그 외 자명하지 않은 모든 부분'에서만 다음 원소를 정의할 수 있다.
이는 자연수의 정의인 "4. N의 두 원소가 같은 따름수를 갖는다면 두 원소는 같다. / 특정 따름수를 가지는 원소는 유일하다."에서도 확인 가능하다.
그리고 원점 0과 임의의 방향으로 정의되는 자연수. 그 반대 방향으로 정의되는 음수를 포함해 정수 Z라 한다.
이제 스핀정리에서는 여기서 약간의 관점 전환을 시도한다.
정수 집합 Z가 있다.
그리고 원점 0이 정의되지 않았다.
1. 집합 Z의 정의되지 않은 모든 원소는 동일하다.
2. Z의 모든 원소는 따름수 관계로 얽혀 있다. / Z의 모든 원소는 연속이다.
3. Z의 어떤 원소를 원점 0으로 정의하더라도 항상 집합의 중점이 된다.
Z의 모든 원소가 연속이라면, 원점 0을 정의했을 때 양의 방향 벡터와 음의 방향 벡터는 서로 다른 방향으로 발산해 멀어지는 것이 아니라 결국 연결되어 있다고 볼 수 있다.
4. 특정 방향으로의 발산 벡터는 집합 Z의 절반만을 대상으로 한다. 즉, 양의 방향 따름수와 음의 방향 따름수는 같은 원소가 될 수 없다.
5. 두 벡터의 위상차를 1이라 했을 때, 특정 방향의 발산 벡터의 위상은 1/2를 향한다.
5번에 대해 비유적으로 설명하면 원의 임의의 한 점에서 시작한 화살표는 원의 절반을 돌았을 때 180도 꺽어져 반대방향으로 향하는 것과 유사하다고 할 수 있다.
그리고 이러한 내용들을 죄다 간략화하여 다음과 같이 정리한다.
6. 집합 Z의 정의된 원소n은 +1/2 또는 -1/2 로 발산한다.
"왜 무한대를 논하면서 아직 정의되지 않은 숫자를 이미 존재한다고 가정하는가?"
자연수의 정의에서도 드러나는 내용이지만, 집합 N에서 정의된 원소는 오직 임의의 원소 n과 그 따름수 n' 뿐이다.
자연수 집합 N을 정의하는 동시에 그 모든 원소에 숫자가 매겨지는 것이 아니다.
따라서, 지금까지와 같이 수를 취급하려면 다음과 같은 단서조항이 추가되는 것이 타당하다.
"계산에 있어 필요한 만큼의 원소 n과 그 따름수가 정의된 상태라고 가정한다."
B. 이제 유리수를 정의해 보도록 하자.
유리수(rational number). 또는 유비수(ratio-nal number)의 정의는 별 거 없다.
1. 유리수는 두 정수 m, n 의 비로 정의된다.
그리고 이 정의에서 확인되어야 할 부분은 다음과 같다.
1a. 유리수 집합 Q의 두 정수 m, n은 동시에 정의되지 않는다.
만약 유리수 집합 Q를 구성하는 두 정수가 동시에 정의된다고 가정할 경우 다음과 같은 문제가 발생한다.
1) 정의점 0이 두 개 존재하며, 두 정의점으로부터 정의되는 각각의 집합 Qm과 Qn은 서로 베타적이다.
위 내용을 이해하기 위해서는 앞서 자연수의 정의 4. 번을 다시 볼 필요가 있다.
'4. N의 두 원소가 같은 따름수를 갖는다면 두 원소는 같다. / 특정 따름수를 가지는 원소는 유일하다.'
'특정 따름수를 가지는 원소는 유일히다.'
Qm은 Qn의 원소를 정의할 수 없으며, Qn은 Qm의 원소를 정의할 수 없다.
즉, 두 정수 집합 m, n은 서로 정의될 수 없는 독립적이며, 베타적인 성질을 가진다.
그러므로 위에서 정수를 정의하며 + 방향 스핀과 - 방향 스핀으로 구분할 수 있었던 것을 제외하면 정의점이 두 개인 두 집합은 독립이다.
독립인 두 집합을 하나로 정의하면 되는 것 아니냐고 할 수 있지만, 그럴 경우 두 집합을 하나의 관계로 묶을 수 있는 새로운 정의자가 필요해진다.
그러나 '유리수는 정수 m과 정수 n의 비로 정의된다.'
따라서
1.a. 유리수 집합 Q의 두 정수 m, n은 동시에 정의되지 않는다.
2. 유리수의 구성 원소 m과 n의 스핀축은 서로 수직이다. (스핀축은 서로 겹치지 않는다)
이건 간단하다.
'4. N의 두 원소가 같은 따름수를 갖는다면 두 원소는 같다. / 특정 따름수를 가지는 원소는 유일하다.'
그리고 임의의 원소 m과 임의의 원소n이 정의되었을 때, 두 원소의 공배수가 존재한다.
자연수의 정의에 의해 다음 원소가 이전 원소에 의해 정의되기 때문에 공배수 m*n은 두 원소의 따름수가 되며, 이는 자연수의 정의 4.번 항목에 위배된다.
따라서 임의의 원소 m을 따름수로 갖는 스핀집합 Mm에 대한 스핀집합 Nn의 위상은 0º(동일)과 180º(반대) 사이의 90º(수직)을 따르게 된다.
유리수를 정의하는데 왜 자연수의 정의를 가져오느냐고 다시 한 번 의아해 할 수도 있지만, 다시 한 번 강조하건대,
'유리수는 정수 m과 정수 n의 비로 정의된다.'
3. m이 n을 정의한다.
집합 Mm에서 원점 0과 따름수 m이 정의되었다.
그리고 집합 Nn에서 따름수 m을 원점으로 한 따름수 n을 정의할 수 있다.
이것을 그림으로 모사하면 다음과 같다.
0이 m을 정의하고, m이 n을 정의한다.
그리고 다시 n이 m을 정의하면...좋겠지만, 여기서 다시 한 번 자연수의 정의 4.번이 등장한다.
'4. N의 두 원소가 같은 따름수를 갖는다면 두 원소는 같다. / 특정 따름수를 가지는 원소는 유일하다.'
m은 오직 원점 0으로부터만 정의되어야 하고, 만약 n에 의해 정의된다면 n이 원점 0이 되어야 하기에 유리수 집합 Q는 시간에 대해 닫혀 있어야 한다.
따라서 n에 의해 정의되는 m'은 이미 정의되어 있는 자명한 원소가 아니다.
그리고 이로 인해 몇가지 결론이 도출된다.
a. 원소 m, n이 포함된 스핀집합은 (자연수 스핀집합의 정의되지 않은 나머지 부분과 마찬가지로) 정의되지 않은 1/2 스핀값을 가진다.
b. 위 스핀값은 서로 수직으로 교차한다.
c. 진행방향을 바라보는 쪽을 기준으로, 시계방향(오른쪽)의 시계방향(오른쪽)은 다시 원래의 진행방향이 된다. (반시계방향의 반시계방향도 마찬가지로 진행방향이 된다.)
d. 정의된 원소값은 항상 정수값이 된다.
e. 유리수 집합 Q를 구성하는 두 원소 m, n은 동시에 정의될 수 없다.
/ 유리수 집합 Q를 구성하는 두 원소 m, n 중에 최소 하나의 값은 불확정하다. (단, 시간에 대해 닫혀있는 경우를 제외)
유리수집합으로 정의되는 객체는 수직 관계인 각각의 스핀값을 동시에 측정할 수 없다.
그리고 하이젠베르크의 불확정성의 원리에서 입자의 위치값과 운동에너지값을 동시에 측정할 수 없는 성질이 이러한 유리수집합의 특성과 동일하다고 '가정'할 경우 다음과 같은 결론이 나온다.
5. 입자의 운동량과 위치좌표는 근본적으로 동일한 값이며, 하나의 함수로 기술될 수 있다. (전자기력처럼)
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