1. 원소가 개별적으로 정의되었을 때의 w축.
무한대로 발산하는 스핀집합에서 원점 0이 정의되었을 경우, 0의 다음 수인 1과 1의 다음 수인 2가 연속되어 정의된다.
그러나 공간적 거리가 정의되지 않은 상태의 스핀집합의 공간 크기는 0으로 정의되며, 점으로 나타낼 수 있다.
스핀집합 자체는 점에서 정의된다.
그러나 스핀집합의 기준 원소가 정의되고, 연속적으로 그 다음 원소가 정의될 경우 한 점에서 두 개의 원소가 동시에 정의되는 모순이 발생하게 된다.
각 원소가 각각 별개로 정의된다면 한 점에서 항상 하나의 원소만 정의되기에 특별한 모순이 아니게 될 수 있으나, 페아노 공리계의 정의 방식에서도 확인할 수 있듯이 2는 1에 의해 정의되고, 1은 0에 의해 정의된다. 즉, 한 점에서 a' 라는 원소가 정의되기 위해서는 이전 원소인 a가 존재해야 하며, 이 두 원소가 같은 점에서 정의될 경우 두 원소는 동일 원소라는 결론이 나오기에 모순이다.
이러한 모순을 타파하기 위해 독립된 두 개의 공간을 정의한다.
공간 A 에서 기준점 0이 정의되었을 경우, 0의 다음 수인 1은 공간 A'에서 정의된다. 편의를 위해 A'=B로 표기한다.
마찬가지로 공간 B에서 정의된 1의 다음 수인 2는 공간 C에서 정의된다.
이렇게 공간 A → B → C → D ... 로 차례대로 이어지는 연속된 점의 집합을 축 w 로 정의한다.
2. w축과 위상변화.
0에서 1이 정의되고, 0은 공간 A 에서, 1은 공간 B 에서 정의된다.
그리고 0과 1이 같은 점에서 일치할 경우. 즉, 축 w 가 동일할 경우 두 원소는 동일하다.
여기서 우리는 공간 A의 원점 0은 같지만, 다음수 1이 서로 다른 공간에서 정의되는 상태를 가정할 수 있다.
이렇게 공간 B 에서 1이 정의되고, 공간 B' 에서 1' 이 정의되며, 1과 1'이 서로 동일하지 않을 때, 0에서 1로 이어지는 공간축을 w. 0에서 1'로 이어지는 공간축을 w' 로 정의하며, 축 w 와 축 w' 는 1도의 위상차를 갖는다고 정의한다.
실질적인 부피와 영역을 차지하는 정의가 아니기 때문에 축 w → w' → w'' → w''' 로 연속적으로 이어지는 위상 집합은 무한대로 존재하며, 집합의 크기는 자연수 집합과 같고, 이 집합은 보통의 스핀집합과 마찬가지로 1/2 로 발산한다.
3. 스핀집합의 성질.
중립 상태에서 스핀집합의 원점은 존재하지 않으며, 외부 요인에 의해 원점 0 이 정의될 경우 1/2 로 발산하는 집합이 된다.
마찬가지로 각각의 위상축(w)을 가지는 모든 위상 집합은 동일하며, 발산 집합의 크기는 1/2 가 된다.
스핀집합의 원점 0에 상수 n을 더하더라도 1/2로 발산한다.
또한 짝수 집합의 스핀 크기는 1/2 이며, 여기에 홀수 집합을 더하더라도 스핀의 크기는 1/2 로 변하지 않는다.
마찬가지로 위상축 w 를 기준으로 발산하는 스핀집합에 다른 위상축 w' 를 가진 스핀집합을 더하여 위상축을 w'' 로 변경시키더라도 여전히 그 크기는 1/2 이다.
4. 결론과 적용. (가정의 가정)
직선 좌표계 내에서 정지질량을 가진 모든 입자는 각각의 운동량(위상축 w)을 가지며, 어떤 운동량을 가졌더라도 발산값은 1/2 이고, 그 상태는 본질적으로 동일하다.
하나의 입자의 속도를 변화시키는 것은 위상축을 변화시키는 것과 동일하며, 윗줄에서 설명한 것과 같이 유한한 값을 더해서는 절대로, 수학적 정의 차원에서 동일한 상태에서 벗어날 수 없다. 즉, 정지한 입자와 광속의 99.99999999% 로 가속된 입자는 완벽하게 동일할 수밖에 없다.
따라서 한 입자의 위상이 1/2 스핀 상태를 벗어나기 위해서는 동일한 발산값을 가지는 다른 입자가 아닌, 위상축 w 가 제곱 또는 세제곱으로 발산하는 입자 또는 상태의 발견이 필요하다.
P.S: 위상 스핀. 즉, 운동량은 '같은 방향'으로 발산하지 않기 때문에 각운동량이 정의되지 않는다. 하지만 두 값이 모두 같은 방향으로 발산할 정도로 우주의 크기가 충분히 작은 상황을 가정할 경우, 모든 입자는 자체적으로 별도의 각운동량을 동시에 가지고 있었을 가능성이 있다.
