<div><font size="2">리만가설 소개에 관한 글입니다.</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">리만(Bernhard Riemann)은 1859년 한가지 추측을 했고, 이것을 현대에 리만가설이라고 부르고 있습니다. 이 가설에 내재된 여러가지 중요성이 있습니다만, 그 중 가장 주목받는 점 중 하나는 소수분포와 관련이 있다는 것입니다.</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><font size="2">소수 분포를 알아내기 위해 다음과 같이 간단한 함수를 하나 정의하겠습니다.</font></div> <div><font size="2"><br></font></div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cpi+%28n%29+%3D+%5Ctextrm%7B%28the+number+of+prime+numbers+less+then+n%29%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \pi (n) = \textrm{(the number of prime numbers less then n)}" title="\displaystyle \pi (n) = \textrm{(the number of prime numbers less then n)}" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"></div> <div><br></div> <div><span style="font-size:small;">즉 정수집합에서 자연수집합으로 가는 함수 </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π는, </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">n보다 작은 소수들의 개수를 뱉어내는 함수입니다.</span></div> <div><br></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;">따라서 π가 어떻게 생겼는지를 알아내는 것이 곧 소수분포를 알아내는 것이 되겠습니다.</span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;"><br></span></div> <div>한편 "Prime number theorem(소수정리)"이라고 부르는 오래된 정리가 있습니다. <span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π의 형태에 관한 정리입니다. 이 정리는 후에 몇 번의 refinement를 거쳤는데, 가장 유용한 버전은 아래와 같습니다.</span></div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Clim_%7Bn%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%28n%29%7D%7B+%5Cint%5E%7Bn%7D_%7B2%7D+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clog+%28x%29%7D+%5Ctextrm%7Bd%7Dx%7D%7D%7D%3D1&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\pi(n)}{ \int^{n}_{2} {\frac{1}{\log (x)} \textrm{d}x}}}=1" title="\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\pi(n)}{ \int^{n}_{2} {\frac{1}{\log (x)} \textrm{d}x}}}=1" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"></div> <div><br></div> <div>이제 <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Ctextrm%7BLi%7D%28n%29+%3D+%5Cint%5E%7Bn%7D_%7B2%7D+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clog+%28x%29%7D+%5Ctextrm%7Bd%7Dx%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \textrm{Li}(n) = \int^{n}_{2} {\frac{1}{\log (x)} \textrm{d}x}" title="\displaystyle \textrm{Li}(n) = \int^{n}_{2} {\frac{1}{\log (x)} \textrm{d}x}" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;">라고 편의상 줄여 쓰겠습니다. 그리고 위의 식을, <span style="font-size:9pt;">아래와 같이 간편히 쓰기도 합니다.</span></div> <div><br></div> <div>Prime number theorem : <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cpi%28n%29+%5Csim+%5Ctextrm%7BLi%7D%28n%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \pi(n) \sim \textrm{Li}(n)" title="\displaystyle \pi(n) \sim \textrm{Li}(n)" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"> (Hadamard & de la Vallee Poussin(1896))</div> <div><br></div> <div>즉 소수 개수가 증가하는 속도와, 다소 "예쁘게 생긴 함수" Li가 증가하는 속도가 비슷하다는 것입니다.</div> <div><br></div> <div>한편 아래와 같은 사실은 고등학교 수학에서 잘 알려진 사실입니다.</div> <div><br></div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%C2%A0%5Clim_%7Bn%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7B%5B%28n%5E%7B2%7D%29+-+%28n%5E%7B2%7D%2Bn%29%5D%7D+%3D+-%5Cinfty&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{[(n^{2}) - (n^{2}+n)]} = -\infty" title="\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{[(n^{2}) - (n^{2}+n)]} = -\infty" class="latex" style="font-size:9pt;padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;">임에도 불구하고 <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%C2%A0%5Clim_%7Bn%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7Bn%5E%7B2%7D%7D%7Bn%5E%7B2%7D%2Bn%7D%7D+%3D+1&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+n}} = 1" title="\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+n}} = 1" class="latex" style="font-size:9pt;padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"></div> <div><br></div> <div>따라서 <span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π가 </span><span style="font-size:9pt;">증가하는 속도 자체보다도, 이제 </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">Li가 </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π를 "얼마나 잘 근사하는지" 궁금해 하는 것은 자연스러운 물음이 됩니다. 몇몇 수학자들은 </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n)-Li(n)에 대해 조사하기 시작했습니다.</span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;"><br></span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">이제 서술의 편의를 위해, 약간의 간단한 계산을 거쳐 Prime number theorem을 아래와 같이 변형하겠습니다.</span></font></div> <div><br></div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cpi%28n%29+%5Csim+%5Ctextrm%7BLi%7D%28n%29+%5CLongleftrightarrow+%5Cpsi+%28n%29+%5Csim+n&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \pi(n) \sim \textrm{Li}(n) \Longleftrightarrow \psi (n) \sim n" title="\displaystyle \pi(n) \sim \textrm{Li}(n) \Longleftrightarrow \psi (n) \sim n" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"></div> <div><br></div> <div>(여기서 <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cpsi%28n%29+%3D+%5Csum_%7Bp%5Ek+%3C+n%7D%7B%5Clog%28p%29%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \psi(n) = \sum_{p^k < n}{\log(p)}" title="\displaystyle \psi(n) = \sum_{p^k < n}{\log(p)}" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;">이고 2nd Chebyshev function라고 부릅니다.)</div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n)-Li(n) 대신 </span><span style="font-size:9pt;">ψ(n) - n을 살펴보아도 되겠습니다.</span></div> <div><br></div> <div>■ <span style="font-size:9pt;">ψ(n) - n 에 대해 알려진 것들</span></div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+o%28n%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle o(n)" title="\displaystyle o(n)" class="latex" style="font-size:9pt;padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"><span style="font-size:9pt;"> (1896)</span></div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+O%28n+e%5E%7B-c+%5Csqrt%7B%5Clog%28n%29%7D%7D%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle O(n e^{-c \sqrt{\log(n)}})" title="\displaystyle O(n e^{-c \sqrt{\log(n)}})" class="latex" style="font-size:9pt;padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"> (1899)</div> <div><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+O%28n+e%5E%7B-c+%5Cfrac%7B%5Clog%28n%29+%5E%7B3%2F5%7D%7D%7B%5Clog%28%5Clog%28n%29%29%5E%7B1%2F5%7D%7D%7D%29&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle O(n e^{-c \frac{\log(n) ^{3/5}}{\log(\log(n))^{1/5}}})" title="\displaystyle O(n e^{-c \frac{\log(n) ^{3/5}}{\log(\log(n))^{1/5}}})" class="latex" style="font-size:9pt;padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"> (-_-;; 1958)</div> <div><br></div> <div>■ Riemann hypothesis : <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+O%28n%5E%7B1%2F2+%2B+%5Cepsilon%7D%29+%5Ctextrm%7B+for+any+%7D%5Cepsilon%3E0&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle O(n^{1/2 + \epsilon}) \textrm{ for any }\epsilon>0" title="\displaystyle O(n^{1/2 + \epsilon}) \textrm{ for any }\epsilon>0" class="latex" style="font-size:9pt;padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"> (the best of the best error term)</div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;"><br></span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">결국 '리만가설'이란, "예쁜함수(Li)"가 소수분포를 얼마나 잘 보여주느냐에 대한 것입니다.</span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">사실, 리만가설은 리만제타함수(Riemann zeta function)으로 대중에게 더 잘 소개되고, Riemann의 original paper에도 그렇습니다.</span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">일반적인 Riemann zeta function의 construction은 아래와 같습니다.</span></font></div> <div><br></div> <div>ζ : C(the set of complex numbers) → C</div> <div>1) s∈C with Re(s)>1에 대하여, <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Czeta%28s%29+%3D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}" title="\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"><span style="font-size:9pt;">라고 정의한다.</span></div> <div>2) Otherwise, 위 <span style="font-size:9pt;">ζ의 analytic continuation을 생각한다.</span></div> <div><br></div> <div>이러면 <span style="font-size:9pt;">ζ는 </span><span style="font-size:9pt;">s≠1에 대해 잘 정의되는, C 위의 (meromorphic) function임을 확인할 수 있습니다.</span></div> <div><br></div> <div>ζ(s) = 0이 되는 s를 "<span style="font-size:9pt;">ζ의 zero"라고 부릅니다. 비교적 어렵지 않은 계산을 통해, s=-2, -4, -6, ...이 </span><span style="font-size:9pt;">ζ의 zero임을 알 수 있습니다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">이 negative even을 </span><span style="font-size:9pt;">ζ의 trivial zero라고 부릅니다.</span></div> <div><br></div> <div>한편 <span style="font-size:9pt;">ζ는 위의 negative even 말고도 무수히 많은 다른 zero들을 가지는데, 이를 </span><span style="font-size:9pt;">ζ의 nontrivial zero라고 합니다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;">이 nontrivial zero들은 전부(!) </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">0<Re(s)<1(called 'critical strip')에 깔려있으며 Re(s)=1/2와 Im(s)=0에 대칭임이 알려져있습니다.</span></div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">아래 그림을 보시면 이해가 쉬우실 겁니다.</span></div> <p><a class="irc_mil i3597" target="_blank" href="http://mathematics-in-europe.eu/?p=894" style="border:0px;color:#660099;font-family:'Apple SD Gothic Neo', arial, sans-serif;font-size:small;text-align:center;background-color:#222222;"><img class="irc_mi" src="http://mathematics-in-europe.eu/wp-content/uploads/2017/04/20170424-riemann_critical_strip-300x336.jpg" alt="riemann hypothesis zero critical strip에 대한 이미지 검색결과" width="300" height="336" style="background-color:#ffffff;background-position:0px 10px;border:0px;margin-top:80px;" filesize="13713"></a></p> <div><br></div> <div><br></div> <div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;">한편 저 nontrivial zero s들이 </span><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Ctextrm%7BRe%7D%28s%29+%5Cin+%5CBiggl%5B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-a%2C+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Ba+%5CBiggr%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \textrm{Re}(s) \in \Biggl[ \frac{1}{2}-a, \frac{1}{2}+a \Biggr]" title="\displaystyle \textrm{Re}(s) \in \Biggl[ \frac{1}{2}-a, \frac{1}{2}+a \Biggr]" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;">에만 깔려있다면(즉 더 좁은 strip에만 있다면),</span></div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">아까의 Li(n)의 approximation이 </span><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+O%28n%5E%7B1%2F2+%2Ba%2B+%5Cepsilon%7D%29+%5Ctextrm%7B+for+any+%7D%5Cepsilon%3E0&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle O(n^{1/2 +a+ \epsilon}) \textrm{ for any }\epsilon>0" title="\displaystyle O(n^{1/2 +a+ \epsilon}) \textrm{ for any }\epsilon>0" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;">이<span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">라는, 다소 충격적인 사실이 또한 알려져있습니다.</span></div></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;"><br></span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;">간단히 말해, 저 점들이 "좁게" 분포하면 분포할수록 Li는 소수 분포를 더 잘 근사한다는 것입니다.</span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;"><br></span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;"><br></span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;">저 점들을 가장 좁게 분포시키려면...</span></div> <div><br></div> <div>■ Riemann hypothesis (the original) : <span style="font-size:9pt;">ζ의 nontrivial zero는 전부(!) </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">Re(s)=1/2에 깔려있다.</span></div> <div><br></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">이러한 sense에서, </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">리만가설은 Li의 square root error가 best라고 말할 수 있겠습니다.</span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><br></div> <div><br></div> <div>아래는 리만가설 관련한 몇가지 어그로에 대한 답입니다.</div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">1. ζ와 π가 대체 어떻게 connect되어있는지?<br>: Euler product라고 불리우는 </span></font><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Czeta%28s%29+%3D+%5Cprod_%7Bp%7D%7B%281-p%5E%7B-s%7D%29%5E%7B-1%7D%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p}{(1-p^{-s})^{-1}}" title="\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p}{(1-p^{-s})^{-1}}" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;"><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">을 이용하면, </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">ζ와 prime number가 연관되고, further calculation을 통해 prime number theorem과 연관시킬 수 있음.</span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">2. </span></font><img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Czeta%28-1%29+%3D+1%2B2%2B3%2B...+%3D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0" alt="\displaystyle \zeta(-1) = 1+2+3+... = - \frac{1}{12}" title="\displaystyle \zeta(-1) = 1+2+3+... = - \frac{1}{12}" class="latex" style="padding:0px;border:none;vertical-align:middle;color:#333333;font-family:'Lucida Grande', Verdana, Arial, sans-serif;text-align:justify;">???<font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">: 중간의 무한급수 표현은 통상 쓰는 partial sum의 limit이 아님. Riemann zeta function 정의를 고려할 때, analytic continuation으로 확장한 domain에서도 이러한 더하기 표기 하면 멋있으니 그냥 차용해서 쓴 것임.</span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">3. 리만가설이 풀리면 현대 암호체계 폭망?<br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">: O(x^(1/2))라고 망하진 않는다고 생각함. 이에 대해서는 자세히 공부 안해봐서 정확한 이유는 모르겠음...</span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">리만가설을 푸는 것에서 얻는 것은 mathematical beauty 및 증명에 쓰인 아이디어와 통찰력이라고 생각함.<br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">4. 아티야가 푼게 맞냐?<br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">: 아닐 가능성이 매우매우매우 높음.<br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">5. 지금까지 증거가 없으면 귀납적?으로 거의 리만가설 맞다고 볼 수 있냐<br></span></font><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">: 리만가설과 상당히 관련이 있는, "거의 맞지만 아닌" 예를 아래 소개하겠음.</span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">위의 논의에서 </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π를 Li가 근사한다고 했는데, 그 그래프는 아래와 같음.</span></div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></div> <div><img width="366" height="226" src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/PrimePi_1001.gif" class="center-image" alt="PrimePi" style="border:0px;display:block;margin-left:auto;margin-right:auto;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;" filesize="6532"></div> <div><br></div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">위의 그래프에서 검은선(=Li)이 파란선(=π)보다 항상 위에 있는가? 즉 항상 Li > </span><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π인가?</span></div> <div><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;font-size:small;">이에 대해 몇가지 알려진 사실은,</span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">1) Li(n) < </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n) 인 n은 무수히 많음 (1914, </span><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">John Edensor Littlewood)</span></font></div> <div><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">2) </span><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">Li(n) < </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n) 인 n은 10^(10^(10^964)) 이하에는 존재함 (1955, </span><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">Stanley Skewes)</span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">　(이 사람의 이름을 따 Li(n) < </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n)인 n을 Skewes number라고 부름)</span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">2') Li(n) < </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n)인 n은 1.39716 x 10^316 이하에는 존재함 (2011, Stoll & Demichel)</span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">3) 컴퓨터로 2015년까지 노가다 해보니 n=1~10^19에 대해 Li(n) > </span></font><span style="font-size:small;letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">π(n)</span></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;"><br></span></font></div> <div><font size="2"><span style="letter-spacing:.1px;white-space:pre-wrap;">존재성은 증명이 되는데 대체 어디있는지 아직도 못찾았음...</span></font></div>