<div> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/15248398171bcabb60679b4c8a9cb3ac7ae67c6f95__mn756676__w201__h251__f16138__Ym201804.png" width="201" height="251" alt="tiling.png" style="border:none;" filesize="16138"></div><br></div>단 한종류의 정다각형으로 평면을 채우는 방법은 단 3가지밖에 없다는 것을 앞에서 확인했습니다. <div><br></div> <div> <hr><div><br></div> <div>그런데, 같은 정다각형인데 크기가 다른 경우는 어떻게 될까요?</div> <div><br></div> <div>예를 들어 <b>한변의 길이가 1인 정사각형과 한변의 길이가 2인 정사각형으로 평면을 채울 수 있을까요?</b></div> <div><br></div> <div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/15248397174ad05984164b4249b3e73ef68759feb9__mn756676__w240__h240__f10687__Ym201804.png" width="240" height="240" alt="tessellation-rectangles_23.png" style="border:none;" filesize="10687"></div><br></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">양의 정수 배라면 너무 나도 쉽습니다. 사각형 4개를 묶어서 한변이 2 인 사각형을 만들면 됩니다.</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">3인 경우는 사각형 9개를 묶으면 됩니다.</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"> </span> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/1524839767341f6f3181734ec7b7b26c1a115ef215__mn756676__w240__h240__f23306__Ym201804.png" width="240" height="240" alt="tessellation-triangles_23.png" style="border:none;" filesize="23306"></div><br></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">이는 정삼각형인 경우에도 동일합니다. 정수배면 그만큼 늘려 주면 됩니다.</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">..</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;">아쉽지만, 정육각형의 경우, 그 모양 때문애 서로 다른 크기의 정육각형로는 평면을 채울 수는 없습니다.</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"><b><font color="#ff0000">그리고, 이 경우, 꼭지점 끼리 서로 맞닿아야 한다는 조건은 근본적으로 성립이 불가능합니다.</font></b></div> <div style="text-align:left;"><b><font color="#ff0000"><br></font></b></div> <div style="text-align:left;"> <hr></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div>정수는 너무 쉬우니 유리수로 넘어가 볼까요??</div></div> <div><br></div> <div>예를 들어  <b style="font-size:9pt;">한변의 길이가 1인 정사각형과 한변의 길이가 1.5인 정사각형으로 평면을 채울 수 있을까요?</b></div> <div><b style="font-size:9pt;"><br></b></div> <div><span style="font-size:9pt;">1.5 는 분수로 표기하면 3/2 이고, 이를 2배를 하면 정수가 되지요.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;"> </span> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/1524839932597849c6bd344b06bc3938f5e20f3e89__mn756676__w240__h240__f10501__Ym201804.png" width="240" height="240" alt="tessellation-rectangles_1.5.png" style="border:none;" filesize="10501"></div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/1524840448492e5cf330514e96aa75ad934d259da7__mn756676__w240__h240__f24639__Ym201804.png" width="240" height="240" alt="tessellation-triangles_1.5_1.66.png" style="border:none;" filesize="24639"></div></div> <div style="text-align:left;"><br></div></div></div> <div><span style="font-size:9pt;">1.5 배인 경우라면 2배씩 쌓으면 딱 정수배가 됩니다. 5/3 이면 3배라면 되겠지요.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><b>임의의 유리수 p/q 인 경우에도  한쪽 방향으로 q 개를 쌓으면 딱 정수로 떨어집니다. 실제로 q^2 개면 딱 떨어집니다.</b></span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div><span style="font-size:9pt;">이 성질을 이용하면 유리수비를 가지는 어떤 두 수에 대해서도 정삼각형, 또는 정사각형으로 평면을 채울 수 있습니다.</span></div> <div><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div> <hr><br></div> <div>유리수인 경우도 쉽죠?<br><br></div> <div><b>그럼 무리수면 어떻게 될까요?</b></div> <div><br></div> <div>무리수라면 아무리 정수배를 하더라도 정수로 나누어 떨어지지 않습니다.</div> <div><br></div> <div>예를 들어 <b>한변의 길이가 1인 정사각형과, 한변의 길이가 √10 인 정사각형으로 평면을 채울 수 있을까요?</b></div> <div><br></div> <div>여기서 뜬금 없이 '피타고라스의 정리'가 튀어 나옵니다.</div> <div><br></div> <div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/15248414517687cbb3b9f8454e83bd65293a107554__mn756676__w248__h203__f6465__Ym201804.jpg" width="248" height="203" alt="Pythagoras2.jpg" style="border:none;" filesize="6465"></div><br></div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/15248415476d7ff098b6c04cb1bf74e3a35749211c__mn756676__w360__h360__f22488__Ym201804.png" width="360" height="360" alt="Pythagorean_tiling.png" style="border:none;" filesize="22488"></div><br></div> <div style="text-align:left;">이를 이용해서 위의 그림처럼 2개의 정사각형을 교대로 배치하면 평면을 채울 수 있습니다.</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">이는 무리수 뿐만 아니라 정수, 무리수 가능합니다.</span></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">1 과 <span style="font-size:9pt;">√10</span><span style="font-size:9pt;"> 인 정사각형이라고 했으니, 이를 합성한 </span><span style="font-size:9pt;">√11 짜리 정사각형으로 평면을 채운 뒤,</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">이를 다시 피타고라스의 정리를 이용해서 분할한다고 생각하면 됩니다.</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">실제로 이런 식으로 배열하는 것을 '피타고라스의 타일링'이라고 부릅니다.</span></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><a target="_blank" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tiling" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tiling</a></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"><b><font size="3">크기가 다른 2개의 정사각형은.</font></b></div> <div style="text-align:left;"><b><font size="3">그 비율이 어떤 두 양의 실수 a:b 이더라도, 이를 이용해서 평면을 채울 수 있습니다.</font></b></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"> <hr><br></div> <div style="text-align:left;">그런데, 정삼각형은 피타고라스 정리가 성립하지 않지요.</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">그렇다면 <b>무리수 비율을 가지는 두 수가 주어질 때 이 크기를 가지는 두 정삼각형으로 평면을 채우는 것은 가능할까요?</b></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"><b>정답은... 일단 가능합니다.</b></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;">그럼 문제.</div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"> <div style="text-align:left;"><img src="http://thimg.todayhumor.co.kr/upfile/201804/1524842315da3d30a0aaba42bda1f234e13b46181c__mn756676__w240__h240__f27992__Ym201804.png" width="240" height="240" alt="tessellation-triangles_sqrt10.png" style="border:none;" filesize="27992"></div><br></div> <div style="text-align:left;"><font size="3"><b>문제) 한변의 길이가 1인 정삼각형과, √10 인 정삼각형을 이용해서 평면을 채우는 방법을 찾으시오.</b></font></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;"><br></span></div> <div style="text-align:left;"><br></div> <div style="text-align:left;"><span style="font-size:9pt;">힌트) 평면을 가득 채우기만 하면 되며, 꼭지점끼리 반드시 만날 필요가 없다는 점을 이용하세요.</span></div><br></div> <div style="text-align:left;"><br></div><br></div>