좀 뜬금 없다(?) 싶지만...질문을 겸해서 글을 써봐요.
중학교~고등학교 공통과정 수학 수준까지는 그냥 f(x)라는 게 함숫값 구할 때
x에 숫자를 대입해서 계산할 때 외에는 그다지 쓰일 일이 없는 표기라
난해할 부분이 없는데
예를 들어 도형의 이동 파트에서
점 P(x, y)를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동한 점은 (x+a, y+b)이지만
도형 f(x, y)를 똑같이 평행이동시키면 f(x-a, y-b)가 되잖아요.
이 과정이 전 고1 때부터 되게 이해하기 어려웠거든요.
최근에 다시 고민하다가 내린 결론은
f(x, y)를 정의한 순간 x와 y가 갖는 관계가 정의된 거잖아요.(예를 들어 y=x+1이라는 식으로)
그리고 이 도형 위에 있는 어느 점 p(x, y)를 평행이동시킨 점을 q(x', y')이라 할 때
x'=x+a, y'=y+b니까
x=x'-a, y=y'-b가 되고
이미 f(x, y)라는 표기를 통해서 x와 y의 관계를 정의해두었으니까
f(x'-a, y'-b)라는 형태로 대입해도(x'-a=x가 참이라면) 문제 될 게 없는 거죠.
그러니까 평행이동한 도형의 관계식을 새롭게 창조해낸 게 아니라
기존의 f라는 관계식으로 정의된 x, y의 관계로부터 x'과 y'의 관계를 유추해낸 거죠.
f라는 관계식이 참이고(정의된 순간), x'과 x, y'과 y의 관계가 참이라면
대입해서 식을 변형해도 여전히 참인 거죠.
다른 문자인 x프라임이 들어가긴 했지만 종전의 식이랑 같은 식인 셈이죠.
일종의 패러미터라고 할 수 있을까요?
그리고 마지막으로 방정식을 표기할 때 x, y 같은 기호를 사용하는 게 관례고 딱히 문제될 게 없으니까
아까 그 f(x'-a, y'-b)에서 프라임을 떼어내고 그냥 f(x-a, y-b)라고 표기하는 거죠.
그러면 학생들은 이렇게 의문을 가질 수 있는데요,
"선생님, f라는 관계식이 x와 y의 관계식이었는데 x-a와 y-b를 넣고도 어떻게 식이 계속 참인 성질을 유지하죠?"라고요.
그건 새로 넣은 문자 x-a의 x가 겉모양만 아까 전의 x와 같을 뿐 사실은 x'-a라는 문자를 보기 좋게 x로 바꿔 표현했을 뿐이라서
괜찮다고, 저는 최종적으로 이해했어요.
이게 첫번째 질문이에요. 제가 바르게 해답을 낸 게 맞을까요?
두번째 질문 드릴게요.
f(x)가 사실 진짜 좀 헷갈리게 다가왔던 건 미적분 개념을 공부할 때였는데요.
단순히 f(x)가 y를 대신하는 기호다. 라고 생각했고 가끔 숫자 대입해서 함숫값 대입하면서 쓸 때는 상관이 없었는데
치환적분법 증명 같은 거 할 때 f(x)라는 기호가 갖는 원래 의미가 좀 복잡하게 느껴질 때가 있어요.
질문 올리는 사람의 예의는 아닌 거 같지만 제가 공부를 깊게 안 했어서 제가 뭘 질문해야 할지도 모르겠네요 ㅠㅠ
그냥 f(x)라는 기호가 갖는 의미에 대해서 가장 적절하게 설명해주실 수 있으신가요?
장문의 질문글 읽어주셔서 감사합니다! 오유 과게 분위기가 참 친절하면서도 합리적이라 좋은 것 같아요!
